山东省聊城市外国语学校高新区分校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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2024年3月 时间：120分钟 分值：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数中没有平方根的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据负数没有平方根，找出计算结果为负数即可．
【详解】解：A、，故有平方根，不合题意；
B、，故没有平方根，符合题意；
C、，故有平方根，不合题意；
D、0有平方根，不合题意．
故选：B．
2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为
A. kgB. kg
C. kgD. kg
【答案】B
【解析】
【分析】利用科学记数法的表示方法进行表示即可.
【详解】解：∵
∴100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为kg，
故选：B.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数.一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
4. 如图是活动场馆中的某个装饰品，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图；找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方等运算法则分别计算，分别判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
6. 如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ）

A. 2B. 5C. 3D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，判定为等边三角形是解题的关键．
根据平移的性质得，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的长即可．
【详解】解：∵将沿射线的方向平移2个单位后，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选B．
7. 对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】解：根据题意：
，
由：，
故：，
即：，
，
没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．
8. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9. 如图，的边为的直径，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线及圆周角定理，熟练掌握直径所对圆周角是直角是解题关键．
如图，连接、，由作图可知为的平分线，可得，根据圆周角定理可得，由是直径得出，即可得出的度数．
【详解】解：如图，连接、，
由作图可知为的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的边为的直径，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A. 54B. 52C. 50D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且．
故答案：且．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12. 如图，在平行四边形中，，、分别为边、的中点，连接、、，当平分时，的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三角形的中位线定理可得，，由角平分线的性质和平行线的性质可求，，即可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为，
平分，
，
∵，
，
、分别为边、的中点，
∴，，
，，
，
，，
，
故答案：．
13. 小哲同学准备给新买的行李箱密码锁设置一个密码，密码是3位数字，如图，小哲同学已经在从左到右的第一位上设置了自己喜欢的数字5，第二位和第三位的数从2，6，8这三个数字中任意选取（可重复选相同数字），并且每个数字被选中的可能性一样大，则剩下两位选的数字不同的概率是_____________
【答案】
【解析】
【分析】根据画树状图法计算即可，本题考查了树状图法求概率，熟练掌握方法是解题的关键．
【详解】画树状图如下：
根据题意，一共有9种等可能性，数字不同的等可能性有6种，
故剩下的两位数字不同的概率为．
故答案为：．
14. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳_____________名观众同时观看演出．（π取，取）

【答案】265
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形面积， 过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量．
【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点，

圆心O到栏杆的距离是6米，
米，
，
，米，
，
，
，
可容纳的观众阴影部分面积
（人），
最多可容纳265名观众同时观看演出，
故答案为：265．
15. 二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为________．
【答案】1或3
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数图象可得，
抛物线图象经过点，对称轴是直线，
则抛物线一定经过点关于直线的对称点，
当时，关于x的方程的两个解为：，．
∴方程的解为，；
故答案为：1或3．
16. 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 5 6 7 8 9
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【详解】解：第行的最后一个数是，第行有个数，
在第10行倒数第二个，
第10行有：个数，
的有序数对是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第行的最后一个数是，第行有个数是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. （1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，分式的混合计算， 零指数幂和负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先把小括号内的式子通分，然后把对应分式的分子分母分解因式，再把除法变成乘法约分化简即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】（1）x的值为600
（2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【解析】
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
【小问2详解】
解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．

（1）求的长；（结果保留根号）
（2）如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85）
【答案】（1）米
（2）4米
【解析】
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．
【小问1详解】
解：作，交的延长线于点F，则，
∴，，
∵，，
∴，，
∵米，
∴（米），（米），
∴（米），
即的长为米；
【小问2详解】
解：设水池的深为x米，则米，
由题意可知：，，米，
∴（米），（米），
∵，
∴，
解得，
即水池的深约为4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：
七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；
八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；
[整理、描述数据]：
对上述数据进行分段整理如下：
【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
（3）若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．
【答案】（1）88；92
（2）小明的话错误，理由见解析
（3），建议见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；
所以排在中间的两个数是87，89，故中位数；
八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数；
故答案为：88；92；
【小问2详解】
小明的话错误，理由如下：
因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数，
所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；
【小问3详解】
七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；
建议七年级的学生加强学习党史（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
21. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．

（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案；
（2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
如图，过作于，
则，而，，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线，
∴，解得：，
∴直线为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键．
22. 如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4）
【解析】
【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解；
(2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
(3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)，
∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)，
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵CD=4AC，
∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，
∴点D的横坐标为4，
故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4；
(2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)，
如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，
∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a)
，
∵E是直线l上方的抛物线上的动点，
∴时，△ACE的面积的最大值为时，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴，解得a，
故答案为：a；
(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设P（1，m），
分类讨论：
情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位，
∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4，
将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a，
∴Q(-4，21a)，
∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2，
解得a²=，又a