四川省成都市泡桐树中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分150分 命题人：杨明 审题人：杨喻尧
A卷 （共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分；每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方，同类项，对于A，根据同类项判断；再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算判断B；然后根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算判断C；最后根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算判断D．
【详解】因为和不能合并，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为当时，，所以C不正确；
因为，所以D正确．
故选：D．
2. 如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，分别进行分析即可．
【详解】解：A、由∠1＝∠3无法推出，符合题意；
B、，可利用内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，不符合题意；
C、，可利用同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，不符合题意；
D、，可根据同旁内角互补，两直线平行判定CD∥BA，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
3. 某种颗粒物的直径约为0.0000018米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A. 0.18×10﹣5米B. 1.8×10﹣5米C. 1.8×10﹣6米D. 18×10﹣5米
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000018=1.8×10﹣6．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
4. 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )
A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B. 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中数学原理是：两点确定一条直线
D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．
【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选A．
【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
5. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
6. 如图的分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．
【详解】左边阴影部分面积为：，
右边阴影部分面积为：，
由阴影部分面积相等可得：，
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．
7. 如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质；
根据平行线的性质可得，根据折叠的性质求出，进而可计算的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得：，
∴，
故选：B．
8. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 已知,则x的值为____________.
【答案】6
【解析】
【详解】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：
，则有3x+5=23，解得x=6.
故答案是：6.
10. 如图，的一边为平面镜，，在上有一点E，从E点射出一束光线经上一点D反射，此时，且反射光线恰好与平行，则的度数是________．
【答案】##84度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意可得，结合即可求解．
【详解】解：∵反射光线恰好与平行，
∴
∴
∴
∴
故答案：
11. 若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差把的左边分解因式，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长为3a，则宽为______．
【答案】2a﹣3b+1
【解析】
【分析】根据宽＝面积÷长列出算式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算可得．
【详解】解：根据题意，宽为（6a2﹣9ab+3a）÷3a＝2a﹣3b+1，
故答案为：2a﹣3b+1．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
13. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________．

【答案】##122度
【解析】
【分析】由可求得的度数，再根据即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共48分）
14. （1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，多项式乘多项式，涉及了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）利用实数的混合运算法则即可求解；
（2）利用多项式乘多项式的运算法则即可求解；
（3）利用平方差公式和完全平方公式即可求解；
（4）利用平方差公式和完全平方公式即可求解；
【详解】解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
15. （1）先化简，再求值：，其中，．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，
（1）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可；
能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【详解】（1）
，
当时，
原式；
（2）
，
当时，
原式．
16. 如图，在中，平分，过点D作交于点E，过点E作交于点F，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：∵，（已知）
∴ ．（ ）
∵，（已知）
∴ ，（ ）
．（ ）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（ ）
∴ ．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等; ；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记相关结论即可完成推理过程．
【详解】解：∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
17. 若 的积中不含x项与项．
（1）求p、q的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值的问题，注意计算的准确性即可.
（1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解；
（2）将代入计算即可.
【小问1详解】
解：
∵的积中不含x项与项
∴，
解得：
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴
18. 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空： ；
（2）如图2，
①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯A射线到达之前，设灯A转动t秒，则 ， ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，当，求t的值．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①，；②或；
（3）不发生变化，，详见解析
【解析】
【分析】（1）根据邻补角的性质，结合的条件求出度数即可；
（2）第一小空根据图形求出度数，第二小空根据平行线的性质即可得出答案；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，求出两角之间的关系即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：①设灯A转动t秒，
则，，
②当时，如图，

若，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上所述：当或时，亮灯的光束平行；
【小问3详解】
解：如图3：

不发生变化，，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
B卷 （共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 一个角的补角比这个角的余角的2倍多，这个角的度数是_________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根据补角和余角的定义，设这个角的度数为x度，则补角为度，余角为度，根据等量关系列方程解方程即可．
【详解】解：解：设这个角的度数为度，则：
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查补角与余角概念，解题关键点是理解补角与余角的定义．
20. 已知，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】把，代入进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用．
21. 如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则_____．
【答案】##68度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22. 如图1的长为a，宽为b（）的小长方形纸片，用6张这样的纸片按图2方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，S始终保持不变；若用5张这样的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则当的值最小时，此时x的值为________，y的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，设，可求得S，进而可得；根据大的正方形的面积可得是一个完全平方数，即可求解．
【详解】解：如图所示：
设，
则，，
∴S
，
∵当的长度变化时，S始终保持不变，
∴，
即：；
由题意得：大的正方形的面积
∴是一个完全平方数，且大于10，
∵均为整数，
当，时，的值最小，
此时：；
故答案为：①②
23. 已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键．
【详解】解：当点F在下方时，
过点F作，过点E作，如图1所示：
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②当点F在上方时，过点E作，如图2所示：
设，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或，
故答案为：14°或37°．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）当为多少度时，，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）当为60度时，，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了角的计算，平行线的性质，垂线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
（1）依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据角平分线的定义，即可得到的度数，进而得出的度数；
（2）依据平分，，利用等角的余角相等即可得到平分；
（3）要使，必有，由此便可解决问题．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
又平分，
，
【小问2详解】
证明：，
，
，
又，
，
，
，
平分；
【小问3详解】
结论：当时，．
理由：
，，
，
，
平分，
，
，
，
当为60度时，．
25. 读材料，解答下列问题：
若，求的值．
小明的解题方法：
，，
∴10．
小亮的解题方法：
设：， ，则 ，
∴．
（1）任选材料中一种方法解答：若，求的值；
（2）如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中， 米， 米（用含x的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π）
【答案】（1）
（2），
（3）平方米
【解析】
【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）设，则，；根据即可求解；
（2）根据、即可求解；
（3）由题意得、，可得，根据种花的面积即可求解
【小问1详解】
解：设，
则，，
∴
∴；
【小问2详解】
解：由图可知：（米）；
（米）；
故答案为：，
【小问3详解】
解：由题意得：
由（2）可得：
∵
∴种花的面积(平方米)
26. 如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过___________秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）
【答案】（1）105°；（2）MN∥BC，135°；（3）15秒或51秒；（4）9.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）求出MN⊥OD，然后根据同位角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
（4）求出旋转的角度差，再根据时间=旋转角差÷速度差计算即可得解．
试题解析：（1）在△CEN中，∠CEN=180°-30°-45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°-∠DOM=5∠DOM，
∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°，
∴MN⊥OD，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°；
（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°-（60°-45°）=75°，
或270°-（60°-45°）=255°，
所以，t=75°÷5°=15秒，
或t=255°÷5°=51秒；
所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）MN⊥CD时，旋转角角度差上90°，
所以90°÷（20°-10°）=9秒.
考点：1.平行线的判定；2.角的计算；3.垂线．