浙江省杭州市之江实验中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号．
3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷．
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列关系是正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值运算、去括号法则、有理数的加法与乘法逐项判断即可得．
【详解】A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值运算、去括号法则、有理数的加法与乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】．
故选：C．
3. 如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定；
根据同位角相等，两直线平行可知旋转后，进而可求旋转的度数．
详解】解：要使木条a与b平行，则旋转后，
∴木条a旋转的度数至少是，
故选：B．
4. 下列变形中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查等式的性质，不等式的性质以及绝对值，根据相关性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 若，且时，则，此选项变形不正确，故不符合题意；
B. 若，则，此选项变形不正确，故不符合题意；
C.若，且时，则，此选项变形不正确，故不符合题意；
D. 若，则根据等式性质2可得：，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 小清在计算一组较大的数据的平均数和方差时，他先将原数据中的每一个数都减去某个相同的正数，然后对所得的新数据进行统计分析，新数据与原数据相比（ ）
A. 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数变小，方差不变D. 平均数变小，方差变大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断即可．
【详解】解：将原数据中的每一个数都减去某个相同的正数，则新数据的平均数减小，但是数据的波动情况不变，故方差不变，
故选：C．
6. 为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．
7. 若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则P为（ ）
A. 0B. 正数C. 负数D. 非负数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，根据，随着增大而增大，可知与同号，是解决问题的关键．
【详解】解：∵一次函数，
∴随着增大而增大，
∵若，分别在一次函数图象上两个不相同的点，
∴与同号，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，则；
当时，
∴，
∴，则；
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个特殊角度的锐角三角函数值．
9. 已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，m取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系；
先求出，再令，则有，即，此时方程两根为、，然后根据根与系数的关系得到，，最后表示出，根据题意列出不等式组解答即可．
【详解】解：点在抛物线的图象上，
，
，
令，则有，即，
此时方程两根为、，
，，
，
，
，
∴
∴，
故选：D．
10. 如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．掌握相关的知识是解题的关键．
过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明∽，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
∵，
∽，
∴，即，
解得，
在中，．
故选：C．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式分解因式是解题的关键．直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知点在反比例函数的图象上，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；
直接把点代入反比例函数解析式计算即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_____________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，根据简单概率公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，
（任意摸出一个球为绿球），
故答案为：．
【点睛】本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的关键．
14. 某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s；
【答案】6
【解析】
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【详解】解：
＝−（t−6）2＋91，
∵−＜0
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当t＝6时，升到最高点．
故答案：6．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；
由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵转角为，
∴，
∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案：．
16. 如图，在正方形中，，相交于点O．E为上一点，于点F，交于点G，连结交于点H．若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正方形的性质证得，不妨设，，利用锐角三角函数的定义求出，作，交于，可证得，从而有，求出，在中求得，从而可得，再证，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
不妨设，，
，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
作，交于，
∴，
∴，
∵，，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
三、解答题：（本大题有8个小题，共66分）
17. 已知．
（1）当，时，求m的值．
（2）当，时，求a的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，解一元二次方程；
（1）将，代入代数式，即可求解；
（2）将，代入代数式，解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：当，时，
；
【小问2详解】
当，时，
∴
即
解得：或
18. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点A，B，C均在格点上．
（1）将绕C点按顺时针方向旋转，得到，请在图1中作出．
（2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画旋转图形，相似三角形的判定和性质；
（1）根据旋转的性质找出点A、B的对应点、的位置，顺次连接即可；
（2）取格点P，Q，连接交于M，通过构造，可得点M的位置．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
点M如图所示：
如图，取格点P，Q，连接交于M，
由网格可知，，，，
∴，
∴．
19. 某工厂开展青年工人操作技能评比，从1200名青年工人中随机抽取部分工人成绩（记为）作为样本进行整理后分成五组．组：，组：，组：，组：，组：．并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：

请根据以上信息，完成下列问题：
（1）抽取的样本人数为________，________；
（2）已知组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．组成绩的众数是________分，抽取的样本成绩的中位数是________分；
（3）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，根据样本数据．请你估计全厂青年工人操作技能为优秀的人数．
【答案】（1）50，20
（2）86，
（3）672人
【解析】
【分析】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
（1）根据组人数即百分比可求得抽取的样本人数，利用组频数除以抽取的样本人数即可得的值；
（2）根据众数，中位数的定义求解即可；
（3）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：抽取的样本人数为人，
组所占百分比为，则，
故答案为：50，20；
【小问2详解】
组成绩的众数是86分，
组人数为：人，
抽取的样本成绩的中位数为第25，26位的平均数，即：，
故答案为：86，；
【小问3详解】
人，
即：全厂青年工人操作技能为优秀的有672人．
20. 如图，已知在中，是斜边上的高线，平分，分别交，于点E，G，于点F，连结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，证明，可得，然后证得，根据菱形的判定定理可得结论；
（2）证明，根据相似三角形的性质求出菱形的边长，然后利用勾股定理计算出，再根据同角的正切值相等求出，进而可得答案．
【小问1详解】
解：∵平分，，，
∴，，
∵是斜边上的高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
∴，
设，
则，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
21. 【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可．
【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：，
将，代入得，
解得，
函数解析式为：；
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了，
当时，，
未充电前电量显示为，
假设充电充了分钟，应增加电量：，
出发是电量为，走完剩余路程，
应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：
，解得，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
22. 已知在矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，．

（1）如图1，若，点E运动到的中点时，求的长．
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质．
（1），可证矩形是正方形，点到的中点，可求出，在，中，证明即可求解；
（2）根据，，可得，根据矩形的性质可得，由此可判定三角形相似，由此即可求解．
【小问1详解】
解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 已知和（且）是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与x轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）个，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
（1）把a，b的值代入配方找顶点即可解题；
（2）分别令，，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；
（3）现根据题意得到，且，然后得到，借助图象求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：当，时，，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：个，理由为：
令，则，
即，
解得：，，
令，则，
即，
解得：，，
又∵且，
∴两条抛物线与x轴的交点总个数为个；
【小问3详解】
解：∵抛物线上的任意一点均有，
∴，且，
整理得：，
∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，，
图象如图所示，借助图象可知当或时，．
24. 已知：如图1，是的弦，点C是的半径的延长线上一点，将翻折得到，交半径于点D．
（1）求证：．
（2）若与相切．
①如图2，点落在上，求的值．
②如图3，若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据翻折得到，根据等边对等角得到，然后通过等量代换证明即可；
（2）①根据切线的性质求出，然后根据，求出，进而可得的值；
②作，垂足为，求出，证明，利用等面积法求出，再证明，利用相似三角形的性质求出，进而根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
证明：将翻折得到，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①与相切，
，
，
，
将翻折得到，
，
，
，
，
，
；
②作，垂足为，则，

，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，切线的性质，圆周角定理，特殊角三角函数值，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．电池充电状态
时间t（分钟）
0
10
30
60
增加的电量y（%）
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
160
200
280
显示电量e（%）
100
60
50
30