山东省新高考联合质量测评2024届高三下学期3月联考数学试题

这是一份山东省新高考联合质量测评2024届高三下学期3月联考数学试题，共13页。试卷主要包含了5 C．8 D．7等内容，欢迎下载使用。

山东新高考联合质量测评3月联考试题
高三数学
2024.3
考试用时120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ）
A．11 B．9.5 C．8 D．7.
2．已知点P在抛物线，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
3．已知数列是等比数列，是等差数列，，若为常数列，则（ ）
A．0 B．8 C． D．
4．已知是三个不重合的平面，m，n，l是三条不重合的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（ ）种．
A．60 B．120 C．240 D．480
6．已知O为坐标原点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在双曲线上，过点P作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
10．函数，则（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数关于中心对称
C．函数在有三个零点 D．函数的最大值为
11．已知函数的定义域为为的导函数．对任意实数x，y满足，且．当时，则（ ）
A．函数的周期为1 B．函数为偶函数
C．函数为奇函数 D．函数是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，则_____________．
13．已知A，B是球O的球面上两点，，C为球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球O的体积为_____________．
14．已知正实数a，b，c满足，若，则的最小值为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数且在处的切线与x轴平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数恰有两个零点，求的解析式．
16．（15分）一个盒子中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性相等，用X表示取出的3张卡片中的最大数字．
（1）求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（15分）如图，四棱锥，底面是直角梯形，底面，，平面交于F．
（1）求的值；
（2）求点B到平面的距离．
18．（17分）已知椭圆，点A，B，C分别是E的左，右，上顶点，E的离心率，且原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆E的短轴长和方程；
（2）过点的直线交E于R，S两点（不与顶点重合），设直线的斜率分别为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l的斜率为，且l与y轴交于点M，线段的垂直平分线与y轴交于点N，求取值范围．
19．（17分）在信息论中，熵是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数．设随机变量X所有取值为，则定义信息熵．
（1）若，求随机变量X的信息熵关于的解析式；
（2）若，求此时的信息熵；
（3）设X和Y是两个独立的随机变量，求证：．
山东新高考联合质量测评3月联考试题
高三数学参考答案
2024.3
1．B
2．A 【解析】设点P的坐标为，则，且，所以，故选A．
3．C 【解析】由题意知，则，解得或（舍），由为等比数列知，又，所以，所以．
4．B 【解析】A选项，若，则或，故A选项错误．B选项，设，，在内作于点于点B，则，因为，所以．故B选项正确．C选项，，则．故C选项错误．D选项，若，则m与n平行、相交、异面都有可能，故D选项错误．因此选B．
5．C 【解析】根据题意，先从5人中选2人组成一组，有种方法，然后将4组大学生分配到4所学校，有种方法，由分步计数原理知共有种不同的分配方法，选C．
6．C 【解析】取弦的中点D，如图所示，则的最大值就是的最大值．因为，则．又，所以，所以的最大值为，故选C．
7．D 【解析】，即，
两边平方得，解得．故选D．
8．A 【解析】设渐近线与x轴正向的夹角为，则，且，因为在双曲线上，所以，所以，又，所以，整理得，即，解得，所以离心率，故选A．
9．BCD
10．ACD 解析：时，单调递增，单调递增，故在上单调递增，故A正确；因为，不恒为0，故不关于中心对称，故B错误；，令或或，因此区间中有零点，共3个，故C正确；，故D正确．
11．BCD 【解析】代入，得．代入，得，故A错误．代入，得．代入，得，即．两边求导得，，即，所以，故B正确．因为，则，故C正确．令，可得，即．因为，则，可得，所以，令，不妨设，可得，即，因为，则，则，可得，即，所以为上增函数，故D正确．
12．
13． 【解析】由题意知，当平面时，三棱锥的体积最大，此时，所以，所以．
14． 【解析】由对称性不妨设，因为，所以，设，则（当且仅当等号成立）．设，则，且，则，所以，
由得，所以函数在上递减，在上递增，所以（此时）时，的最小值为．又取等号的条件是，且，所以当时，有最小值．
15．解：（1）， 1分
由题意知，，得， 2分
此时，令，
单调递增，单调递减，
单调递增 4分
故的单调递增区间为．
的单调递减区间为． 6分
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，在单调递增，则当或时，恰有两个零点． 8分
当时，，解得．
当时，，解得． 11分
综上，或． 13分
16．解：（1）“一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5”的事件记为A，“一次取出的3张卡片中的数字之和为4”的事件记为B，“一次取出的3张卡片中的数字之和为5”的事件记为C， 1分
则 5分
则． 6分
（2）由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5． 7分
；
；
；
； 11分
所以随机变量X的分布列为
13分
因此X的数学期望为． 15分
17．解：（1）以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 2分
，
设，平面的一个法向量，所以即解得 4分
令，则， 5分
又，
平面，
所以，，
解得， 7分
所以． 8分
（2），由（1）知， 9分
设平面的一个法向量，所以即解得
令，则， 11分
又，
所以， 14分
所以点B到平面的距离为． 15分
18．解：（1）由题意知直线，因为原点O到直线的即离为，
所以．又， 2分
所以．所以椭圆E的短轴长2，椭圆E的方程为． 5分
（2）由题意知，设，
当直线l的斜率不存在时，其方程为，则，
所以，所以． 6分
当直线l的斜率存在时，设为，则直线l为，将其代入得，则，
所以， 8分
所以
．
综上，的值为3． 11分
（3）由（2）知，则，
所以线段的中点坐标为， 12分
所以线段的重直平分线为，
令，即．
又，所以， 14分
所以． 15分
令，则，
所以，所以y关于t单调递减．
所以，所以取值范围为． 17分
19．解：（1）当时，
． 4分
（2）因为，
所以，
故，
而， 7分
于是，
令，则，
两式相减得
，
因此．
所以． 10分
（3）证明：根据题意，， 11分
，
而且， 13分
所以
． 17分
X
2
3
4
5
P