甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024届高三第三次诊断考试数学试题(无答案)
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这是一份甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024届高三第三次诊断考试数学试题(无答案),共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
数学
命题人:张勇 李晓霞 审题人:张志兵
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数z满足,则复数Z的虚部是( )
A.B.C.D.
2.设集合,则等于( )
A.B.C.D.
3.在航天员进行的一项太空试验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则试验顺序的编排方法共有( )
A.24种B.48种C.96种D.144种
4.若函数为奇函数,则实数( )
A.1B.C.2D.
5.已知是椭圆的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,为筹腰三角形,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6.函数,若在是减函数,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7.若,则( )
A.B.C.或或3D.或
8.已知,函数在点处的切线均经过坐标原点,则( )
A.B.C.D.
二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知抛物线的焦点为F,准线为l且与x轴交于点Q,P是l上一点,直线PF与抛物线交于M,N两点,若,则( )
A.B.C.D.
10.设e为自然对数的底数,函数,则下列结论正确的是( )
A.当时,无极值点B.当时,有两个零点
C.当时,有1个零点D.当时,无零点
11.下列选项中正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布,则.
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球,记其中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望.
C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,所得的样本空间为,令事件,事件,则事件A与事件B相互独立.
D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中,最有可能击中的次数是7次.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知圆台下底面的半径为2,高为2,母线长为,则这个圆台的体积为__________
13.过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于A、B和C、D,若,则四边形ACBD的面积等于__________.
14.已知函数的部分图象如图所示,且,则值为__________.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知在数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列足,在和之间插入k个数,使这个数组成等差数列,将插入的k个数之和记为,其中,求数列的前n项和.
16.(15分)某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试,得到了如图所示的频率分布直方图(引体向上个数只记整数).体育组为进一步了解情况,组织了两个研究小组.
(1)第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试.
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中,男生甲被抽到的概率是多少?
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈,记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X,求X的分布列;
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究,得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.
根据小概率值的独立性检验,分析体育锻炼是否与学业成绩有关?
参考公式:独立性检验统计量,其中.
临界值表:
17.(15分)如图,两个正四棱锥的底面都为正方形ABCD,顶点M,N位于底面两侧,.记正四棱锥的体积为,在四棱锥的体积为.
(1)求的最小值;
(2)若,求直线AM与平面BCN所成角的正弦值.
18.(17分)已知抛物线上有一点.,F为抛物线C的焦点,,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点P向圆(点P在圆外)引两条切线,交抛物线C于另外两点A,B,求证:直线AB过定点.
19.(17分)已知函数.
(1)若,讨论的单调性:
(2)若有三个极值点.
①求a的取值范围;
②求证:. 体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828