湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

这是一份湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．、、的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
2．若，则“”是“为纯虚数”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
3．已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
4．如图所示的矩形ABCD中，E，F满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）．
A．B．3C．D．2
5．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）．
A．B．C．3D．7
6．如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（ ）．
A．B．C．D．
7．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）．

图1 图2
A．B．
C．D．
8．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积为S，若，则的最小值为（ ）．
A．B．2C．1D．
二、多选题
9．已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A．
B．在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
10．对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）．
A．若，，，则符合条件的有两个
B．若s，则是锐角三角形
C．若，则的最小值为
D．若点P在所在平面且，，则点P的
轨迹经过的外心．
11．圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最大值为6B．
C．恒成立D．满足的点C仅有一个
三、填空题
12．复数z满足，①；②1；③复数z的虚部为；④是方程在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为__________．
13．“丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋!”2023年5月21日上午7:30分，2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际，由主碑和副碑组成．纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七二八”这一难忘时刻（如图1）．唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，纪念碑顶部M的仰角分别为和，在A处测得纪念碑顶部M的仰角为，则纪念碑的高度约为__________米．
图1 图2
14．定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量、的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为__________．
四、解答题
15．已知向量，，．
（1）若，求t的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
16．（1）计算；
（2）已知，，，，求的值．
17．已知，，，函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，，角A的平分线交BC于D，求AD的长．
18．在中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O作一条直线分别交线段AB，AC于点M，N．
（1）若，，，，求；
（2）求与面积之比的最小值．
19．如图，半圆O的直径为，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求．
（3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．
2023～2024学年度第二学期武汉市育才高中四月月考
高一数学试卷参考答案
命题教师：杨青审题教师：范晶
考试时间：2024年4月2日试卷满分：150分
一、单项选择题（8×5=40分）．
1．【答案】D
【详解】如图所示，作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线分别为，，，
由图知，，，且，
所以．
故选D．
2．【答案】A
【详解】因，则为纯虚数，
当且仅当，即或，
于是有为纯虚数，而为纯虚数，
所以“”是“为纯虚数”的充分非必要条件．故选A．
3．【答案】B
【解析】∵，，∴，
∴．故选B．
4．【答案】A
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，，所以．
故选A．
5．【答案】B
【解析】由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以．故选B．
6．【答案】B
【详解】连接AC，
在中，，，，
则，
所以，，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以，
设该圆的半径为R，则，
所以该圆的面积为．故选B．
7．【答案】D
【详解】设，则，
因为，
所以
，
又，所以，所以，
所以的取值范围是．故选D．
8．【答案】A
【详解】因为，即，
所以，
因为，所以，
由余弦定理，可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）．
因为是锐角三角形，所以，
得，即，
所以，
当且仅当，取等号．故选A．
二、多项选择题（3×6=18分）．
9．【答案】ABD
【详解】由图象可知，，，
函数最小正周期，，
，即，
由，得，
所以，，A选项正确；
，，是正弦函数的单调递增区间，
所以在区间上单调递增，B选项正确；
将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，y轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，C选项错误；
，
所以，D选项正确．故选ABD．
10．【答案】CD
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则，
故不存在，A错；
对于B选项，只能说明C是锐角，另外两个角不一定是锐角，所以B错误；
对于C选项，因为，
因为，则，则，
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，故的最小值为，C对；
对于D选项，设线段BC的中点为D，连接PD，
由，可得，所以，，
由，
可得，
所以，
，
即，所以，点P的轨迹经过的外心，D对．故选CD．
11．【答案】AB
【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
对于A，，
∵，∴，∴，
∴的最大值为6，故A正确；
对于B，
∴
∵，∴，∴，故B正确；
对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；
对于D，当时，即，解得，
∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．
故选ABC．
三、填空题（3×5=15分）．
12．【答案】①④
【解析】【详解】因为，则，故选项①正确；
，故选项②错误；复数z的虚部为2，故选项③错误；
因为，
故是方程在复数范围内的一个解，故选项④正确．故答案为：①④．
13．【答案】33
【解析】由题意，为等腰直角三角形，设，则，，
在中，，
在中，，，则，
根据正弦定理，，解得，即为纪念碑高度．
故答案为：33．
14．【答案】
【解析】∵，∴，则，
∴，，
设向量与的夹角为，
则．
故答案为：．
四、解答题（13+15+15+17+17=77分）．
15．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）解：因为向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得．
（2）解：当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，
解得，且与不共线，则，可得，
综上所述，实数m的取值范围是．
16．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，
∵，，
∴．
（2）由且，可得，
又由且，可得，
因为，可得，
又因为
．
17．【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，
故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，．
（2）由（1）及，即，
又，所以，解得，
因为，，
由余弦定理：可得：或（舍）
，
所以，
．
18．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）依题意可得，，
又，则，
所以，所以，
所以，
故．
（2）设，，，
由D为BC的中点，O为AD的中点，
则，
又O，M，N三点共线，则，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，即．
19．【答案】（1）；（2）；
（3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为
【解析】（1）中，由余弦定理得，
即，于是四边形OACB的周长为．
（2）因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即OC的最大值为6，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
（3）在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形OACB的面积为
，
当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为，
所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为．