2024七年级数学下册第1章平行线压轴30题专练试题（附解析浙教版）

这是一份2024七年级数学下册第1章平行线压轴30题专练试题（附解析浙教版），共34页。
第1章平行线（压轴30题专练）一．选择题（共9小题）1．（奉化区校级期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．2．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）A．15° B．25° C．35° D．45°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2＝60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝25°，∴∠3＝∠1＝25°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣25°＝35°．故选：C．3．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠D＝70°，则∠CEB等于（　　）A．70° B．80° C．90° D．110°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】由DF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BED的度数，又由邻补角的定义，即可求得答案．【解答】解：∵DF∥AB，∴∠BED＝∠D＝70°，∵∠BED+∠BEC＝180°，∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°．故选：D．4．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝（　　）A．20° B．60° C．30° D．45°【考点】垂线；平行线的性质．版权所有【分析】利用平行线的性质和垂线的定义计算．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等），∵EF⊥AB于E，∴∠2＝90°﹣60°＝30°，故选：C．5．（固安县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；【解答】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB．（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．（3）由题意知，EF∥DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，如下图，①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，如图，设DG∥BC，当点G′在点G的上方时，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；当点G″在点G的下方时，见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，综上，∠AGD不一定大于∠BFE；（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；综上知：正确的说法有两个．故选：B．6．如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（　　）A．4x B．12x C．8x D．16x【考点】生活中的平移现象．版权所有【分析】本题主要考查对图形的观察能力和平移方法的运用，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．【解答】解：观察图形，利用平移的方法可将空白的部分移到一起，可发现它是由4个外侧面积为x的砖构成；整个墙面由16个外侧面积为x的砖构成，故残留部分墙面的面积为16x﹣4x＝12x．故选：B．7．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（　　）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CF【考点】平移的性质．版权所有【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；B、△DEF为直角三角形，则∠DEF＝90°成立，故正确；C、△ABC≌△DEF，则AC＝DF成立，故正确；D、EC＝CF不能成立，故错误．故选：D．8．如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（　　）A．18 B．16 C．12 D．8【考点】平移的性质．版权所有【分析】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．【解答】解：一个正方形面积为4，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4＝16．故选：B．9．（奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】平行线的性质．版权所有【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．二．填空题（共7小题）10．（奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为　68°　．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．构建方程组证明∠GMC＝2∠E即可解决问题．【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．则有，①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，∵∠E＝34°，∴∠GMC＝68°，∵AB∥CD，∴∠GMC＝∠B＝68°，故答案为68°．11．（2019秋•嘉兴期末）如图，已知长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是　30°　．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据折叠，得出相等的线段和相等的角，根据中点得出DP＝AP，进而得出∠DAP＝30°，再根据折叠对称，得出答案．【解答】解：由折叠得，∠BAO＝∠OAP，AB＝AP，∵长方形纸片ABCD，∴AB＝CD，∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，∵P为CD中点，∴PC＝PD＝CD＝AP，在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，∴∠OAB＝∠OAP＝（90°﹣30°）＝30°，故答案为：30°．12．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要　504　元．【考点】生活中的平移现象．版权所有【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，∴地毯的长度为2.6+5.8＝8.4米，地毯的面积为8.4×2＝16.8平方米，∴买地毯至少需要16.8×30＝504元．13．（奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　82°　．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝33°，∴∠BFC＝∠E﹣33°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，解得∠E＝82°，故答案为：82°．14．（奉化区校级期末）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为　∠3＝∠1+∠2　；（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为　∠3＝∠1+∠2　；（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为　∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3　．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）作PE∥AC，如图1，由于l1∥l2，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1＝∠EPC，∠2＝∠EPD，所以∠1+∠2＝∠3；（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．【解答】证明：（1）如图1，过点P作PQ∥l1，∵PQ∥l1，∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），∵PQ∥l1，l1∥l2（已知），∴PQ∥l2（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠3＝∠4+∠5，∴∠3＝∠1+∠2（等量代换）；故答案为：∠3＝∠1+∠2；（2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；故答案为：∠3＝∠1+∠2；（3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．故答案为：∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．15．（奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　15或22.5　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；平行线的判定与性质．版权所有【分析】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．【解答】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分两种情况：①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为15或22.5．16．（乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为　30或120　．【考点】一元一次方程的应用；平行线的性质．版权所有【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，①DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDP＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴AI∥DF，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，∴AC∥DE，∴∠AIM＝∠MDE，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．故答案为：30或120．三．解答题（共14小题）17．（奉化区校级期末）填写推理理由：已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，试说明∠EDF＝∠A．解：∵DF∥AB　（已知）　，∴∠A+∠AFD＝180°　（两直线平行，同旁内角互补）　．∵DE∥AC　（已知）　，∴∠AFD+∠EDF＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．∴∠A＝∠EDF（　同角的补角相等　）．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】根据平行线的性质和同角的补角相等即可得出结论．【解答】解：∵DF∥AB（已知），∴∠A+∠AFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵DE∥AC（已知），∴∠AFD+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A＝∠EDF（同角的补角相等）．故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；已知；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．18．（慈溪市期末）如图，直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左至右分别为C，A，D和E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动．设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：①∠BAD的度数；②射线BN过点A时的x的值．（2）如图2，求当AM∥BN时的x的值．（3）若两条射线AM和BN所在的直线交于点P．①如图3，若P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．【考点】相交线；平行线的性质．版权所有【分析】（1）①由CD∥EF，∠ABF＝60°，可得：∠ABF+∠BAD＝180°，故∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．那么，射线BN旋转的角度为120，故（5x）°＝120°．从而推断出x＝24．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB，故∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．那么，x＝20．（3）①由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°，故∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．由∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，故x＝29．②如图，由x＜24，射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，故∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．又由∠CBA＝∠BAP+∠BPA，故∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝180°．∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②∵当射线BN旋转到BF的位置时，两者停止运动，∴当x＝180°÷5°＝36时，两者停止运动．此时，射线AM在∠BAD的内部．由题意知：0≤x≤36．∵∠ABE+∠ABF＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．当射线BN旋转到BA所在直线时，则射线BN过点A．∴射线BN旋转的角度为120．∴（5x）°＝120°．∴x＝24（符合题意）．（2）当AM∥BN时，∠NBA＝∠MAB．∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．∴120°﹣5°•x＝1°•x．∴x＝20（符合题意）．（3）①若P在CD与EF之间，则x＞24．由题意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．∴x＝29（符合题意）．②如图4，∵x＜24，∴射线BN始终在∠EBA内部．此时，P在EF的下方．当x＝0时，P不存在．由题意可得：∠EBN＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°．∴∠CBA＝∠EBA﹣∠EBN＝120°﹣（5x）°．∵∠CBA＝∠BAP+∠BPA，∴∠BPA＝∠CBA﹣∠BAP＝120°﹣（5x）°﹣x°＝120°﹣（6x）°（0＜x＜24）．19．（奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG＝∠GCF＝20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．20．（招远市期末）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于　60°﹣α　（用含α的式子表示）．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠FGC＝90°；（3）依据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）如图3，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．21．（九龙坡区校级月考）如图，已知AB∥CD，点P在直线BD上（点P与点B、D不重合），分别记∠BAP，∠DCP，∠APC为∠1，∠2，∠3．（1）当点P在B、D两点间移动时，写出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；（2）当点P在射线BE上移动时，（1）中的等量关系还存在吗？若存在，请说明理由；若不存在，请写出一个你认为正确的等量关系，并说明理由．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得到∠3＝∠1+∠2；（2）根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得出∠2＝∠1+∠3．【解答】解：（1）等量关系：∠3＝∠1+∠2，如图，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠APQ＝∠1，∠CPQ＝∠2，∴∠3＝∠APQ+∠CPQ＝∠1+∠2；（2）答：（1）中等量关系不存在了．存在：∠2＝∠1+∠3．如图所示，∵AB∥CD，∴∠2＝∠PEB，∵∠3+∠1＝∠PEB，∴∠2＝∠1+∠3．22．（颍州区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；（2）根据DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．【解答】解：（1）DG∥BC．理由：∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）CD⊥AB．理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．∵∠DCE：∠DCG＝9：10，∴∠DCE＝95°×＝45°．∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，∴CD⊥AB．23．（饶平县校级期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．【解答】解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝28°，∴∠DEF＝∠EFP＝28°，AB∥FP，又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+28°＝108°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH＝∠GFE＝54°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣54°＝26°．24．（民权县期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，∴∠1＝∠CFE＝∠E，∴∠2＝∠E，∴AD∥BC．25．（饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　　．【考点】平行线的性质．版权所有【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝∠E．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END＝∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP＝∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，∴∠E+2∠NPM＝180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F＝∠E，即．故答案为：．26．（太和县期末）已知：△ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依题意，在图1中补全图形；②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，进行作图；根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠EDF；（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．【解答】解：（1）①补全图形如图1；②∠EDF＝∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，∴∠A＝∠EDF；（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．理由：如左图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；如右图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，∴∠EDF+∠BAC＝180°．27．（奉化区校级期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．提示：过点C作CF∥AB．深化拓展：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为　65　°．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DCA，又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠B＝∠BCF，∠C＝∠DCF，∴∠B+∠BCD+∠D＝∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°．（3）如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°故答案为：65；28．（奉化区校级期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠PFD＝130°（已知），∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．即∠EPF＝90°（等量代换）．[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是　35　°．【考点】平行公理及推论；平行线的判定与性质．版权所有【分析】[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数．[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．[应用]如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．故答案为：35．29．（南岗区期末）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．【考点】平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．30．（奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是　∠3＝∠1+∠2　；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝　85　°．（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．【考点】方向角；平行线的判定与性质．版权所有【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，∵AC∥BD，∴PM∥BD，∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠BAC＝40°+45°＝85°．故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠FDE；∵∠1+∠2＝90°，∴∠BED＝∠DEF＝90°；∴∠3+∠FDE＝90°；∴∠2+∠3＝90°．