2024七年级数学下册第09讲乘法公式核心考点讲与练试题（附解析浙教版）

这是一份2024七年级数学下册第09讲乘法公式核心考点讲与练试题（附解析浙教版），共36页。
第09讲乘法公式（核心考点讲与练）一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）三．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”四．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．五．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．定空间，各部分不都在同一平面内．一．完全平方公式（共7小题）1．（2021秋•克东县期末）如果x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，则m＝　2　．【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项确定出这两个数，列式求解即可．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：∵m2+5＝（m+1）2＝m2+2m+1，∴m＝2．【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项与平方项之间的关系来求值．2．（2020秋•无为市期末）已知x+＝3，则x2+的值是（　　）A．3 B．7 C．9 D．11【分析】直接利用完全平方公式展开求出即可．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，∴x2++2＝9，∴x2+＝7．故选：B．【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2．3．（2021春•镇海区期中）已知ab＝8，a﹣b＝7，则a2+b2的值是（　　）A．66 B．65 C．64 D．63【分析】原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b＝7，ab＝8，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×8＝65，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（2021春•奉化区校级期末）若（x+2y）2＝（x﹣2y）2+A，则A等于（　　）A．8xy B．﹣8xy C．8y2 D．4xy【分析】根据已知得出A＝（x+2y）2﹣（x﹣2y）2，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：∵（x+2y）2＝（x﹣2y）2+A，∴A＝（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2＝8xy，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键．5．（2021•鹿城区一模）化简：（a﹣1）2﹣a（a+2）．【分析】分别根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．【解答】解：（a﹣1）2﹣a（a+2）＝a2﹣2a+1﹣a2﹣2a＝1﹣4a．【点评】本题主要考查完全平方公式以及单项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．6．（2021春•江北区期中）已知实数a，b满足（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝3，求a2+b2﹣ab的值．【分析】先由（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9记作①式，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3记作②式，再①﹣②即可得到ab的值，再由①+②可得a2+b2的值，即可得出答案．【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3②，①﹣②得，4ab＝6，ab＝，①+②得，2a2+2b2＝12，a2+b2＝6，所以a2+b2﹣ab＝6﹣＝．【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的关键．7．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）8．（2021秋•香坊区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2﹣b2，图乙中阴影部分为边长分别为（a+b）和（a﹣b），其面积为（a+b）（a﹣b），利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式．9．（2021秋•临沭县期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（　　）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．【解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．10．（2021春•济南期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）A．22 B．24 C．42 D．44【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【解答】解：由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，认真分析图，利用公式是解决问题的关键．11．（2021秋•滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3．【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，∴S3＝×30＝15．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．12．（2021秋•蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为 　（m﹣n）2　；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．三．完全平方式（共5小题）13．（2021春•长兴县月考）已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（　　）A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16【分析】根据完全平方公式的结构特征列方程求解即可．【解答】解：∵4x2+4（m﹣2）x+（m﹣2）2＝[2x+（m﹣2）]2＝4x2+4（m﹣2）x+m，∴（m﹣2）2＝m， 即m2﹣5m+4＝0，∴m＝1或m＝4，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．14．（2021秋•顺城区期末）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　±6　．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，∴m＝±6，故答案为：±6．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2021秋•庐江县期末）若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根据完全平方公式即可得到关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，∴m＝5或﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．16．（2021秋•荣昌区期末）当a＝　﹣4或6　时，多项式x2﹣2（a﹣1）x+25是一个完全平方式．【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2，即可求解．【解答】解：因为x2﹣2（a﹣1）x+25＝x2﹣2（a﹣1）x+52是完全平方式，属于﹣2（a﹣1）x＝±2•x•5，解得：a＝﹣4或6．故答案为：﹣4或6．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．17．（2021秋•河东区期末）若4y2+my+9是一个完全平方式，那么m的值应为 　±12　．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵4x2+mx+9＝（2x）2+mx+32是一个完全平方式，∴m＝±2×2×3＝±12．故答案为：±12．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，完全平方公式的结构为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．四．平方差公式（共5小题）18．（2021•江干区模拟）（3+2y）（3﹣2y）＝（　　）A．9+4y2 B．9﹣4y2 C．9+2y2 D．9﹣2y2【分析】根据平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．【解答】解：（3+2y）（3﹣2y）＝32﹣（2y）2＝9﹣4y2．故选：B．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．19．（2021•临安区模拟）（2﹣x）（2+x）＝（　　）A．4+x2 B．﹣4+x2 C．4﹣x2 D．﹣4﹣x2【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝22﹣x2＝4﹣x2．故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．20．（2021春•越城区期末）下列多项式的乘法可以运用平方差公式计算的是（　　）A．（2x+3y）（2y﹣3x） B．（﹣2x﹣3y）（2x+3y） C．（﹣2x+3y）（2x﹣3y） D．（2x﹣3y）（﹣2x﹣3y）【分析】能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．【解答】解：能利用平方差公式计算的多项式的特点是：两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数．A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平方差公式．平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构特征是解题的关键．21．（2021秋•台州期末）计算：（2x﹣y）2﹣（x﹣2y）2．【分析】用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（2x﹣y）+（x﹣2y）][（2x﹣y）﹣（x﹣2y）]＝（3x﹣3y）（x+y）＝3（x﹣y）（x+y）＝3（x2﹣y2）＝3x2﹣3y2．【点评】本题考查整式的混合运算，根据整式特征，用平方差公式计算是求解本题的关键．22．（2021秋•温岭市期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子．①化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　；②计算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝　100　；（2）【公式运用】已知：+x＝5，求的值；（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为“的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．【分析】（1）根据立方差公式计算．（2）根据完全平方公式计算．（3）根据体积找到a，b关系．【解答】解：（1）①原式＝a3+（﹣b）3＝a3﹣b3．②原式＝（99+1）（992﹣99×1+12）÷（992﹣99+1）＝100．故答案为：a3﹣b3，100． （2）∵x+＝5，∴原式＝（+x）÷＝×＝×＝＝x+﹣1＝5﹣1＝4．（3）假设长方体可能为正方体，由题意：a3+b3＝∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝．∴8a2﹣8ab+8b2＝a2+2ab+b2．∴7a2﹣10ab+7b2＝0．∴7×﹣10×+7＝0．∵Δ＝100﹣4×7×7＜0，方程无解，该等式不成立．∴该长方体不可能是边长为的正方体．【点评】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键．五．平方差公式的几何背景（共5小题）23．（2021秋•博白县期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．24．（2021秋•宁波期末）如图，将长方形ABCD分成2个长方形与2个正方形，其中③、④为正方形，记长方形①的周长为C1，长方形②的周长为C2，则C1与C2的大小为（　　）A．C1＞C2 B．C1＝C2 C．C1＜C2 D．不确定【分析】根据图形中正方形、长方形边长之间的关系，设两个正方形的边长分别为a、m，NP＝b，由长方形的周长的计算方法分别用代数式表示其周长C1，C2，比较即可．【解答】解：如图，设MN＝a，NP＝b，PQ＝m，即正方形③的边长为a，正方形④的边长m，所以长方形①的长为a+b，宽为m，因此周长C1＝（a+b+m）×2＝2a+2b+2m，长方形②的长为m+b，宽为a，因此周长C2＝（m+b+a）×2＝2a+2b+2m，所以C1＝C2，故选：B．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中正方形、长方形边长之间的关系是解决问题的前提，用代数式表示两个长方形的周长是解决问题的关键．25．（2021秋•淇县期末）如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（　　）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a（a﹣b）＝a2﹣ab【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．26．（2021秋•正阳县期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（2b+2a）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明平方差公式．27．（2021秋•庐江县期末）如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【分析】（1）分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；（2）逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）⋯（1﹣）（1+）＝××××⋯××＝．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021秋•凉州区校级期末）如果x2﹣（m﹣1）x+1是一个完全平方式，则m的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．1或3【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2﹣（m﹣1）x+1是一个完全平方式，∴m﹣1＝±2，解得：m＝﹣1或3，故选：C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2021秋•武汉期末）下列计算正确的是（　　）A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意． 故选：D．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．3．（2021•余杭区二模）（1﹣x）2＝（　　）A．1﹣x2 B．1+x2 C．1﹣2x+x2 D．1+2x+x2【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，依此即可求解．【解答】解：（1﹣x）2＝1﹣2x+x2．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．4．（2021•宁波模拟）（2﹣x）（x﹣2）的结果为（　　）A．4﹣x2 B．x2﹣4 C．﹣4﹣4x﹣x2 D．﹣4+4x﹣x2【分析】根据完全平方公式求解判断即可．【解答】解：（2﹣x）（x﹣2）＝﹣（x﹣2）2 ＝﹣（x2﹣4x+4）＝﹣x2+4x﹣4．故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．5．（2021春•镇海区期中）已知ab＝8，a﹣b＝7，则a2+b2的值是（　　）A．66 B．65 C．64 D．63【分析】原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b＝7，ab＝8，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×8＝65，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2021春•拱墅区校级期中）已知x﹣y＝8，xy＝7，则x2+y2的值是（　　）A．64 B．71 C．78 D．57【分析】由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，给等式两边同时加上2xy，再根据已知条件即可得出答案．【解答】解：∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，把x﹣y＝8，xy＝7，代入上式，∴x2+y2＝82+2×7＝78．故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．7．（2021春•鹿城区校级期中）若（ax﹣y）2＝4x2﹣4xy+by2，则a，b的值分别为（　　）A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝4，b＝1【分析】现根据完全平方公式得（ax﹣y）2＝a2x2﹣2axy+y2，再由等式的性质得a2＝4，﹣2a＝﹣4，b＝1，求解即可得出答案．【解答】解：因为（ax﹣y）2＝a2x2﹣2axy+y2，所以a2＝4，﹣2a＝﹣4，b＝1，解得a＝2，b＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的关键．8．（2021•顺义区一模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，＝（a+b）2﹣4ab，＝a2+2ab+b2﹣4ab，＝（a﹣b）2；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算．二．填空题（共8小题）9．（2021秋•广水市期末）若多项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，那么m＝　±6　．【分析】根据首末两项是x和3的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍．【解答】解：∵多项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，∴mx＝±2•x•3，∴m＝±6．【点评】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特点并灵活运用是解题的关键，注意不要漏解．10．（2021•拱墅区二模）已知a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝　3　．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．11．（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝　5　．【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，∴58﹣18＝8xy，∴xy＝5．故答案是：5．【点评】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行应用．12．（2021春•上城区期末）计算（﹣s+t）（﹣s﹣t）＝　s2﹣t2　．【分析】直接利用平方差公式进行运算即可．【解答】解：（﹣s+t）（﹣s﹣t）＝（﹣s）2﹣t2＝s2﹣t2．故答案为：s2﹣t2．【点评】本题主要考查平方差公式，解答的关键是对平方差公式的掌握．13．（2021•上城区校级一模）若x﹣y＝5，xy＝2，则x2+y2＝　29　．【分析】根据完全平方公式求解即可．【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝52+2×2＝25+4＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．14．（2020秋•硚口区期末）计算（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝　x2﹣4y2+4yz﹣z2　．【分析】根据平方差公式和完全平方公式即可求解．【解答】解：（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝x2﹣（2y﹣z）2＝x2﹣4y2+4yz﹣z2．故答案是：x2﹣4y2+4yz﹣z2．【点评】考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．注意整体思想的运用．15．（2020秋•二道区期末）计算：2019×2021﹣20202＝　﹣1　．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此化简计算即可．【解答】解：2019×2021﹣20202＝（2000﹣1）×（2000+1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了平方差公式，熟记公式是解决问题的关键．16．（2021春•奉化区校级期末）如图是边长为a+b的大正方形，通过两种不同的方法计并该大正方形的面积，聪明的你可以得到一个乘法公式，请你用含有a，b的等式表达出来，结果是　（a+b）2＝a2+2ab+b2　．【分析】用不同的方法表示大正方形的面积，即可得出等式．【解答】解：如图，用不同的方法表示大正方形的面积可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【点评】考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示大正方形的面积是得出等式的前提．三．解答题（共5小题）17．（2021•槐荫区二模）化简（a+3）2﹣（a﹣3）（a+3）．【分析】根据完全平方公式以及平方差公式化简即可．【解答】解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣9）＝a2+6a+9﹣a2+9＝6a+18．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记乘法公式是解答本题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．18．（2021秋•浦东新区期中）化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．【分析】先用平方差、完全平方公式去掉括号，再合并同类项就可得结果．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab．【点评】本题考查了平方差、完全平方公式，掌握这两个公式的熟练应用，括号前面是负号去括号时注意每一项都变号是解题易出错的地方．19．（2020秋•椒江区期末）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝3，求xy与x2+y2的值．【分析】分别展开完全平方公式，发现（x+y）2比（x﹣y）2多4xy，据此求出xy的值，进而求出x2+y2的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝×（5﹣3）＝；∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝5﹣2×＝5﹣1＝4．【点评】本题考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式的结构特点是解题的关键．20．（2021春•萧山区期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．【分析】（1）根据面积公式的和差关系可得答案；（2）利用整式的运算法则计算即可得到答案；（3）根据面积公式的和差关系可得答案．【解答】（1）由图可得，S1＝a2﹣b2S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab．（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab．∵a+b＝15，ab＝5，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝225﹣3×5＝210．（3）由图可得，∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝64，∴．【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握整式的运算法则是解决此题关键．21．（2021春•奉化区校级期末）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝20，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝1，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【分析】（1）图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为x2+y2，从另外一个角度，也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即＝（x+y）2﹣2xy，可得等式；（2）①将（a+b）2＝a2+b2+2ab，进行变形为ab＝，再整体代入即可；②利用完全平方公式，进行变形可求答案．【解答】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝20，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×1＝2．【点评】考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求出答案．题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（　　）A．﹣1006 B．﹣1007 C．﹣1008 D．﹣1009【分析】设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可．【解答】解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；故选：D．【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．2．（2021春•拱墅区期中）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（　　）A．22 B．24 C．32 D．49【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1、图2可求出a、b的值，再根据图3，求出（a+3b）2﹣12ab的值，即求出阴影部分的面积即可．【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1得，（a+b）2﹣4ab＝81，即：a﹣b＝9，由图2得，（a+2b）2﹣8ab＝64，即：a﹣2b＝8，解得：a＝10，b＝1，由图3得，（a+3b）2﹣12ab＝（a﹣3b）2＝49，即阴影部分的面积为49，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，将公式进行适当的变形，是得出答案的关键．3．（2021春•奉化区校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】设正方形A、B的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；【解答】解：设A的边长为x，B的边长为y，由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，将②化简得2xy＝③，由①得，将③代入可知x2+y2＝3.5．故选：B．【点评】本题考查完全平方公式，表达出阴影面积再变形即可得到答案．二．填空题（共10小题）4．（2021春•嘉兴期末）已知a﹣b＝7，ab＝2，则（a+b）2＝　57　．【分析】将a﹣b＝7两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求得a2+b2的值，再利用完全平方公式即可求出（a+b）2的值．【解答】解：将a﹣b＝7两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝49，把ab＝2代入得：a2+b2﹣4＝49，即a2+b2＝53，则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝53+4＝57．故答案为：57．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2021春•江北区校级期中）若27m×64m＝（）6，128×512×64＝2n+19，且（3n﹣m）6＝（x3）6，则x＝　±2　．【分析】把27看成33，64看成43，（）6看成[（）2]3，然后根据积的乘方（ab）n＝anbn的逆用进行化简，底数都是12，根据指数相等求出m；把底数统一化成2，根据同底数幂的乘法法则可以求得n＝3，然后把m，n的值代入得（x3）6＝86，偶数次方相等，所以底数相等或互为相反数，从而求得x的值．【解答】解：∵27m×64m＝（）6，∴33m•43m＝[（）2]3，∴（3×4）3m＝123，∴123m＝123，∴3m＝3，∴m＝1；∵128×512×64＝2n+19，∴27×29×26＝2n+19，∴27+9+6＝2n+19，∴222＝2n+19，∴n+19＝22，∴n＝3；把m＝1，n＝3代入（3n﹣m）6＝（x3）6得：（x3）6＝86，∴x3＝±8，∴x＝±2．故答案为：±2．【点评】本题主要考查了幂的运算，考查学生的计算能力，解题时注意偶数次方相等，那么底数相等或互为相反数，不要漏解．6．（2021春•济阳区期末）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为　23　．【分析】观察图形，此题用正方形一半的面积减去阴影中白色小三角形的面积即可，然后再用a+b和ab的值代入计算即可得出阴影部分的面积．【解答】解：S阴影＝a2﹣（a﹣b）b＝a2﹣ab+b2＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，又∵a+b＝10，ab＝18，∴S阴影＝[（a+b）2﹣3ab]＝[（10）2﹣3×18]＝23，故答案为23．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过观察图形列出式子S阴影＝a2﹣（a﹣b）b，再根据题目已知条件a+b＝10，ab＝18，凑出完全平方式（a+b）2是计算出结果的关键．7．（2020秋•齐齐哈尔期末）已知：x+＝3，则x2+＝　7　．【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝x2+2+＝9，∴x2+＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．8．（2020秋•腾冲市期末）已知a﹣b＝14，ab＝6，则a2+b2＝　208　．【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝142+2×6＝208，故答案为：208．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题德尔关键是熟记完全平方公式．9．（2021秋•东兴区校级期中）已知a+b＝8，ab＝c2+16，则a+2b+3c＝　12　．【分析】根据已知a+b＝8将等号两边平方，可得到a2+2ab+b2＝64＝4×16．c2+16的16看做ab﹣c2，代入移项、运用完全平方差公式转化为（a﹣b）2+4c2＝0．再根据非负数的性质与已知a+b＝8，可求出a、b、c的值．代入即求得计算结果．【解答】解：∵a+b＝8∴a2+2ab+b2＝64∵ab＝c2+16∴16＝ab﹣c2∴a2+2ab+b2＝64＝4×16＝4（ab﹣c2）＝4ab﹣4c2，即（a﹣b）2+4c2＝0∴a＝b，c＝0又∵a+b＝8∴a＝b＝4∴a+2b+3c＝4+2×4+3×0＝12故答案为12【点评】本题考查完全平方式与非负数的性质．同学们特别要注意我们一般是将式子用数值来代入，但对于本题是将数值16用ab﹣c2来代入．10．（2020秋•齐齐哈尔期末）若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是　±12　．【分析】这里首末两项是3x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．【解答】解：中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍．故k＝±12．【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．11．（2020春•奉化区期中）若a4+b4＝a2﹣2a2b2+b2+20，则a2+b2＝　5　．【分析】将a2+b2看成整体，作为未知数，经过变形得到它的方程即可求解；需注意a2+b2不能是负数．【解答】解：由已知a4+b4＝a2﹣2a2b2+b2+20得：a4+2a2b2+b4﹣a2﹣b2﹣20＝0，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣20＝0，∴（a2+b2﹣5）（a2+b2+4）＝0，∴a2+b2＝5或a2+b2＝﹣4；而a2+b2≥0，故a2+b2＝﹣4舍去，∴a2+b2＝5，故答案为5．【点评】本题考查了配方、非负数、因式分解等知识，将a2+b2看作整体求解，也可以换元．12．（2020•浙江自主招生）已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝6，则a的最大值为　2　．【分析】由a+b+c＝0，得c＝﹣（a+b），代入a2+b2+c2＝6，得b2+ab+（a2﹣3）＝0，把它看成关于b的一元二次方程，要使其有解，则△≥0，据此求解．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴c＝﹣（a+b），∴a2+b2+[﹣（a+b）]2＝6，∴b2+ab+（a2﹣3）＝0，∴△＝a2﹣4（a2﹣3）＝﹣3a2+12≥0，解得，﹣2≤a≤2，∴a的最大值为2．故答案为：2．【点评】此题考查完全平方公式的应用，注意根据已知条件变形，难度较大．13．（2020•武侯区校级开学）计算：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2＝　﹣6b2﹣11c2+16bc+16　．【分析】把前两项整理成4与2b﹣3c的和与差的相乘的形式，利用平方差公式计算，（b﹣c）2利用完全平方公式计算，然后再利用合并同类项的法则计算即可．【解答】解：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2，＝[（2b﹣3c）+4][﹣（2b﹣3c）+4]﹣2（b﹣c）2，＝16﹣（2b﹣3c）2﹣2（b﹣c）2，＝16﹣4b2+12bc﹣9c2﹣2b2+4bc﹣2c2，＝﹣6b2﹣11c2+16bc+16．【点评】考查了完全平方公式，平方差公式的运用，会用整体思想进行公式的运算，此题的关键是构造出平方差公式的结构形式．三．解答题（共9小题）14．（2021春•西湖区校级期中）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝　9　．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．范例：拼法一：拼出一个长方形，长为　3a+5b　，宽为　2b　；拼法二：拼出一个正方形，边长为　a+3b　；（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）【分析】（1）用代数式表示图形面积，再分解即可．（2）先表示所拼的长方形面积，再对照三种卡片面积求出x，y，z的值即可．（3）通过因式分解找到正方形或长方形的边长．【解答】解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．∴a2+b2＝169，a+b＝＝17．∴（a+b）2＝289．∴a2+b2+2ab＝289．∴ab＝＝60．∴长方形B的面积是60．（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．A的面积是a2，B的面积ab，C的面积b2．∴x＝2，y＝5，z＝2．∴x+y+z＝9．故答案为9．（3）当拿掉2张C，则：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2．∴拼成的正方形边长为a+3b．当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b2＝b（5a+11b）．∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b2＝2b（3a+5b）．∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．故答案为：长方形，3a+5b，2b．正方形，a+3b．【点评】本题考查用图形验证恒等式，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．15．（2021春•奉化区校级期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD、BF，若两正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，试求阴影部分的面积．【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（2）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20．【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．16．（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m化简后不含x2项与常数项，且an2+mn＝1，求2n3+5n2﹣5n+2022的值．【分析】（1）通过完全平方公式求值．（2）先求a和m，再求值．【解答】解：（1）∵a2+b2＝10，a+b＝4．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴2ab＝16﹣10＝6．∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．∴a﹣b＝±2．（2）∵（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣2x2+m＝（2a﹣2）x2+（a﹣6）x+m﹣3．∵不含x2项与常数项．∴2a﹣2＝0，m﹣3＝0．∴a＝1，m＝3．∵an2+mn＝1．∴n2+3n＝1．∴2n3+5n2﹣5n+2022＝2n3+6n2﹣n2﹣5n+2022．＝2n（n2+3n）﹣n2﹣5n+2022＝2n﹣n2﹣5n+2022＝﹣（n2+3n）+2022＝﹣1+2022＝2021．【点评】本题考查完全平方公式及其变形式的应用，整体代换求值，灵活运用完全平方公式是求解本题的关键．17．（2020秋•温岭市期中）如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形．现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　（a+b）2＝a2+b2+2ab　；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．【分析】（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得结果，方法二，大正方形的面积等于4部分面积和，表示4个部分面积即可；（2）利用完全平方公式得出（a+b）2 ＝b2+a2+2ab，再整体代入求值即可．【解答】解：（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得图2的面积为（a+b）2 ， 方法二，大正方形的面积等于4个部分面积和，可得a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2 ，a2+b2+2ab；（2）由（1）得，（a+b）2 ＝b2+a2+2ab；故答案为：（a+b）2 ＝b2+a2+2ab；（3）∵a+b＝5，a2+b2＝13，（a+b）2 ＝b2+a2+2ab，∴52＝13+2ab，∴ab＝6．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一个图形的面积是得出等量关系的关键．18．（2020春•亭湖区校级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　．（2）若用图1中的8块C型长方形卡片可以拼成如图3所示的长方形，它的宽为20cm，请你求出每块长方形的面积．（3）选取1张A型卡片，3张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S＝S2﹣S1，则当a与b满足　a＝2b　时，S为定值，且定值为　a2﹣ab　．【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；（2）通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼放成的大长方形的长＝小长方形的宽+小长方形的长，拼放成的大长方形的宽＝小长方形的长+小长方形的宽＝小长方形的宽×4．根据这两个等量关系可列出方程，再求解．（3）设DG长为x，求出S1，S2即可解决问题．【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）设每块C型卡片的宽为xcm，长为ycm，根据题意得 x+y＝20，4x＝20，解得 x＝5，y＝15，所以每块长方形材料的面积是：5×15＝75（cm2）．（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，∴S＝S2﹣S1＝（2b﹣a）x+a2﹣ab，由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2﹣ab为定值，故答案为：a＝2b，a2﹣ab．【点评】本题考查完全平方公式，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．19．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣　2　＝（x﹣）2+　2　（2）若a+＝5，则a2+＝　23　；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+＝3，然后根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+＝0，移项得：a+＝3，∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．20．（2019秋•孝昌县期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．【分析】（1）观察图形很容易得出图b中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；（2）观察图形可知大正方形的面积（m+n）2，减去阴影部分的正方形的面积（m﹣n）2等于四块小长方形的面积4mn，即（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（3）由（2）很快可求出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．【解答】解：（1）m﹣n．（2分）（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）【点评】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．21．（2019春•武侯区期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取　9　张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是　a+3b　（请用含a，b的代数式表示）；（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　；（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．【分析】正方形的面积等于边长的平方；完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，例如：（a+b）2＝a2+b2+2ab；完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方，例如：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，；如果某正方形的边长是（a+b），则此正方形的面积就是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，如果某正方形的边长是（a﹣b），则此正方形的面积就是：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，任何一个完全平方公式都可以化成以某个整式为边长的正方形的面积表达式，这就是完全平方公式的几何背景．【解答】解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，题中已经选择1张A型卡片，6张C型卡片，面积之和为a2+6ab，由完全平方公式的几何背景可知一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，可以很轻易得知a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，故应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b故答案为：9；a+3b（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为（a+b）的正方形，剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为（a+b）的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：（a+b）2﹣4ab，由图可得D型卡片是一个边长为（a﹣b）的正方形，由正方形的面积为边长的平方可知：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（3）设MN长为xS1＝（a﹣b）[x﹣（a﹣b）]＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3abS＝S1﹣S2＝（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，可知当a﹣4b＝0时，即a＝4b时，S＝﹣a2+5ab﹣b2为定值故答案为：a＝4b时，S为定值【点评】此题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景，题目新颖独特，难度中等22．（2019秋•宜宾期中）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据图1确定出阴影部分面积即可；（2）根据图2确定出长方形面积即可；（3）根据两图形面积相等得到乘法公式；（4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．