江苏省南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A. 512个B. 192个
C 240个D. 108个
3. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A.
B
C.
D
5. 地图涂色是一类经典数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种.
A. 84B. 72C. 48D. 24
6. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，分别是正方体的棱上的两点，且，，则当在上沿的方向运动时，三棱锥的体积（ ）
A. 不断变大B. 不断变小C. 保持不变D. 先减小再增大
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
10. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ）
A. 线段是异面直线与的公垂线段
B. 异面直线与的距离为
C. 点到直线距离为
D. 点到平面的距离为
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________.
13. 已知，，则不同的有序集合对有_________种.
14. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知．
（1）求在上的投影向量；
（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）若点，求点P到平面的距离．
16. 如图，在长方体中，，，点在线段上.

（1）求证：；
（2）当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）若平面AEF，求的值；
（2）在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值．
19. 已知函数.
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围.高二数学学情检测1
20240327
考试时间：120分钟；总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案．
【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，
若，即，又由，则有，
依次分析选项：
对于A，，，，即成立，符合题意；
对于B，，，，即不成立，不符合题意；
对于C，，，，即不成立，不符合题意；
对于D，，，，即不成立，不符合题意．
故选：A．
2. 在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )
A. 512个B. 192个
C. 240个D. 108个
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．
考点：排列组合．
3. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解.
【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为
所以，整理得，
而，，，，
所以对比选项可知只有在平面内.
故选：C.
4. 已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，
故D错误.
故选：D
5. 地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种.
A. 84B. 72C. 48D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解.
【详解】将图形区域氛围上下左右，
若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；
若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，
所以共有种，
故选：A
6. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．
【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，
所以.
故选：B
7. 如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.
【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，
由题意可得：，
∵，
则，
即，解得，
由，可得，
故平面ABD与平面CBD的夹角为.
故选：C.
8. 设，分别是正方体的棱上的两点，且，，则当在上沿的方向运动时，三棱锥的体积（ ）
A. 不断变大B. 不断变小C. 保持不变D. 先减小再增大
【答案】C
【解析】
【分析】由，结合锥体体积公式判断即可.
【详解】因为，
设点到平面的距离为，则
如图，到平面的距离即到平面的距离，且到平面的距离为，
又的面积，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AB
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念结合共面定理一一判定即可.
【详解】因为，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；
，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
因为，所以，，是共面向量，
不能构成空间的一个基底，故C错误；
因为，所以，，是共面向量，
不能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：AB．
10. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由排列数的公式计算逐项判断即可.
【详解】A：，故A错误；
B：，，故B正确；
C：，，故C正确；
D：，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ）
A. 线段是异面直线与的公垂线段
B. 异面直线与的距离为
C. 点到直线距离为
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，，，，，
，.
对于A，，，，
，，即，，
所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确；
对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为，
又，所以异面直线与的距离为.故B错误；
对于C，，，
所以在方向的投影向量的模为，
所以点到直线的距离为.故C正确；
对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，
，又，
所以点到平面的距离为.故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解.
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可.
【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，
又，所以，解得，所以点P的坐标为.
故答案为：.
13. 已知，，则不同的有序集合对有_________种.
【答案】27
【解析】
【分析】先根据条件将集合分类，列举出满足条件的集合.
【详解】
如上表，每一种集合可确定满足条件的集合，不同的有序集合对有27种.
故答案为：27.
14. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以.
【详解】因为，
所以，，
所以，，共面，
又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点，
由已知平面，
所以，
又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知．
（1）求在上的投影向量；
（2）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标；
（3）若点，求点P到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；
（2）根据可求的坐标；
（3）根据点面距公式可求点P到平面的距离．
【小问1详解】
，，故在上的投影向量为，
而.
【小问2详解】
设，则，故，
故的坐标为.
【小问3详解】
，设平面的法向量为，
则即，取，则，，
故，
故点P到平面的距离为.
16. 如图，在长方体中，，，点在线段上.

（1）求证：；
（2）当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）建系，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
在长方体中，连接，则，
由平面，平面，得，
而平面，因此平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面法向量，则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 空间中，两两互相垂直且有公共原点三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；
②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.
【小问1详解】
由，，
知，，
所以，所以；
【小问2详解】
设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
①，
.
②因为，所以，
则，
∵， .
∴，
，
所以与的夹角的余弦值为
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）若平面AEF，求的值；
（2）在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，求平面的法向量，结合线面平面的向量关系分析求解；
（2）由（1）可得平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过作平行线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，，，
因为，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
若平面AEF，则，解得.
【小问2详解】
由（1）可得：平面的法向量为，
由题意可知：平面的一个法向量，
设平面与平面所成夹角，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19. 已知函数.
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.
（2）根据给定条件构造函数，按，分类讨论求解.
【小问1详解】
函数，求导得，
设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是，
而，，解得，又，解得，
所以.
【小问2详解】
依题意，对恒成立，
设，显然，恒成立，
当时，，不符合题意，
当时，求导得，
由得，函数在上单调递减，
由得，函数在上单调递增，则，
于是，解得，因此；
所以所求实数的取值范围是.
A
B
、
、
、
、、、
、、、
、、、
、、、、、、、