广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则等于（ ）
A.10B.-10C.3D.-3
2.函数是（ ）
A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数
3.将向量绕坐标原点逆时针旋转60°得到，则（ ）
A.-2B.2C.-1D.1
4.一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成60°角且，，则（ ）
A.6B.2C.D.
5.在中，若，且，那么一定是（ ）
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（ ）
A.B.C.2D.1
7.在中，D是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A.B.C.D.1
8.已知菱形的边长为1，，点是边上的动点，则的最大值为（ ）.
A.1B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的命题正确的是（ ）
A.若，，则
B.两个非零向量，垂直的充要条件是：
C.若向量，则A，B，C，D，四点必在一条直线上
D.向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
10.如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且满足的面积为，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B.函数的图象对称中心为，
C.的单调增区间是，
D.将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：cm）由关系式，确定，其中，，.小球从最高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则（ ）
A.
B.
C.与时的相对于平衡位置的高度之比为
D.与时的相对于平衡位置的高度之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在正六边形中，__________.
13.已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为__________.
14.已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，的面积为，且，，则的周长为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
17.（15分）如图，四边形中，，，，.
（1）求对角线的长：
（2）设，求的值，并求四边形的面积.
18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
19.（17分）设向量，，定义一种向量.已知向量，，点为函数图象上的点，点为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）.
（1）求的表达式并求它的周期；
（2）把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.设函数，试讨论函数在区间内的零点个数.
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案
1.B【详解】由向量，，可得，，所以.
2.A【详解】由题意得，所以，故为奇函数，周期.
3.C【详解】因为，且，.
4.D【详解】∵物体处于平衡状态，∴，即，
∴
.
5.D【详解】因为，则，因为，则，所以，则，又因为，，则，则，即，即，又因为，则，所以，即.即一定是等边三角形，故D正确.
6.A【详解】
7.B【详解】中，D是的中点，E是的中点，
则，
所以，，所以.
8.D【详解】设，，
，
∴的最大值为.故选：D.
9.BD【详解】对于A，当时，不一定成立，A错误；
对于B，两个非零向量，，当向量，垂直可得，反之也一定有向量，垂直，∴B正确；
对于C，若向量，与方向和大小都相同，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴C错误；
对于D，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使，∴D正确.
10.ABD【详解】A：当时，，又，
所以，得，即函数的最小正周期为，由得，故A不正确；
B：由选项A可知，令，，解得，，即函数的对称中心为，，故B错误；
C：由，，得，，故C正确；
D：将函数图象向右平移个长度单位，得函数的图象，故D不正确.
11.BC【详解】对于AB，由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，又，所以，故A错误，B正确；
对于CD，则，所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C正确D错误.故选：BC.
12.
【详解】由题意，根据正六边形的性质
.
故答案为：.
13.【详解】由题意知，故，所以，而，则，故，则在方向上的投影向量为，即在方向上的投影向量的坐标为，故答案为：.
14.6【详解】∵，∴，
∴，∴
∴
∵，∴，
∵∴，
∵，∴，又，
∴是边长为2的等边三角形，
∴的周长为6.
15.【详解】（1）；
（2）由，得，
因为，为锐角，所以，则，
又因，所以，
所以，
所以，
则.
16.【详解】（1）；
（2）因为，所以，
又，
所以，又
所以与的夹角为；
（3）因为向量与平行，所以存在实数使，
所以，解得.
17.【详解】（1）解：连接，在中，，，得：
∴；
（2）在中，由，，，及余弦定理得：
，
∴，
四边形的面积：
∴.
18.【详解】（1）依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以.
故在时刻时点距离地面的离度.
因此，
故2023min时点P距离地面的高度为70m.
（2）由（1）知，其中.
依题意，令，即，所以，
解得，.
则，.
由，
可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌.
19.【详解】（1）因为，，
因为点为的图象上的动点，所以，
；
因为，所以，
所以，即，
所以，它的周期为；
（2）由（1）知，
，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，
其函数图象如下图所示：
由图可知，当或时，函数在区间内只有一个零点，
当时，函数在区间内有两个零点，
当或时，函数在区间内没有零点.