2024年河北省邯郸市第十三中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（1～10小题，每题3分；11～16小题，每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查数的化简，根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案．
【详解】解：∵，
故选：A．
2. 下列算式中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式四则混合运算，根据相关法则逐一计算比较，即可得到答案．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
3. 若，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】解：A、∵，∴，故本选项正确，符合题意；
B、∵，∴，故本选项错误，不符合题意；
C、∵，∴，故本选项错误，不符合题意；
D、∵，∴，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
【详解】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
5. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查关于y轴对称点坐标特点．根据题意可知A，B关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，继而得到本题答案．
【详解】解：∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
故选：D．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. xD.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式化简．根据题意直接两式相加，再将分子因式分解后约分即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
7. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A. 克B. 克C. 克D. 克
【答案】D
【解析】
【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是．
【详解】解：粒粟的重量大约为克，
一粒粟的重量约为．
故选：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键．
8. 若实数、满足，，则的值是（ ）
A. -2B. 2C. -50D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】利用提取公因式法对已知等式进行化简，然后代入求值即可得．
【详解】，
，
，
，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，对已知等式正确进行因式分解是解题关键．
9. 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）
A. 10g，40gB. 15g，35gC. 20g，30gD. 30g，20g
【答案】C
【解析】
【分析】根据图可得：3块巧克力的重=2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重=50克，由此可设出未知数，列出方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重xg，每个果冻的重yg，
由题意得：，
解得：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
10. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A. 4B. 2C. 1D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】根据题意得，，
所以．
故选A．
【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.
11. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
12. 对于题目：“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本（两种文具都买），钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买多少支？”，甲同学的答案是1支，乙同学的答案是2支，丙同学的答案是3支，则正确的是（ ）
A. 只有甲的答案对B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、乙、丙答案合在一起才完整D. 甲、乙、丙答案合在一起也不完整
【答案】C
【解析】
【分析】设买钢笔支，笔记本本，依题意，，根据是正整数，即可求解．
【详解】解：设买钢笔支，笔记本本，依题意，
，
∵是正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可推出；得出，进而得，结合即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：轴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
即：
故选：A
14. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x方程的实根的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根的判别式．根据一次函数不过第一象限，得到，再求出判别式的符号，进而得出结果即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵直线不经过第一象限，
∴，
∵，
当，方程为一元一次方程，为，解得：；
方程有一个实数根，
当时，方程为一元二次方程，
∵，
∴方程有2个实数根．
故选D．
15. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
16. 现要在抛物线(m为常数，)上找点，所能找到点P的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程与二次函数交点问题．根据题意可知恒在直线上，将和联立方程组，利用根的判别式即可得到本题答案．
【详解】解：∵恒在直线上，
∴，整理得：，
∴，
∴抛物线上点P的个数是：个，
故选：B．
二、填空题（本大题共3小题，17，18题每题3分，19题每空2分；共12分）
17. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
18. 如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点A，B恰好同时落在反比例函数的图像上，且对应点分别为点，，则d等于______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平移，先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图像上可得到结果，准确理解平移的计算方法“上加下减，左加右减”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴右平移d个单位长度后，得到，
∵平移后的点刚好落在上，
∴，
解得：，
故答案为：5．
19. 如图①，数轴上点A对应的数为－1，线段垂直于数轴，线段的长为．

（1）将线段绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点为，则点在数轴上表示的数为_________；
（2）在（1）的条件下，连接，则线段的长度可能落在图②中的第_________段（填序号）；
（3）若要使线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的_________倍．
【答案】 ①. ②. ③ ③.
【解析】
【详解】旋转后，=，
∴点A向正半轴移动个单位即可得到对应的数值，即.
根据勾股定理可知=＞1，并且1＜＜，
∴落在③内；
∵旋转后，==，
∴若与原点重合，那么数轴的单位长度扩大即可.
故答案为：（1）；（2）③；（3）
【点睛】本题考察了旋转的性质，实数与数轴，关键是运用了旋转的性质解决问题.
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 两个数m，n，若满足，则称m和n互为美好数．例如：0和1互为美好数．请你回答：
（1）4的美好数是多少？
（2）若的美好数是，求x与的平均数．
【答案】（1）4的美好数是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据新定义的含义列式计算即可；
（2）根据新定义的含义建立方程，再解方程，再根据平均数的含义求解平均数即可．
【小问1详解】
解：由题可知，，
故4的美好数是．
【小问2详解】
∵，
解得，
．
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的加减运算，混合运算，平均数的含义，一元一次方程的应用，连接新定义的含义是解本题的关键．
21. 龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出．
（1）第一次淇淇输入为，则关联盒输出为 ；若关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是 ；
（2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作，把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作．
①请用含n的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）；
②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明．
【答案】（1），
（2）①，；②说明见解析
【解析】
分析】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式．
（1）根据题意利用整式计算即可；
（2）①根据题意分别表示出和代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
第一次淇淇输入为，则关联盒输出为：，
关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是：，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：①，；
②，
∵，
∴可以化为一个完全平方式．
22. 蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在战国时期就开始流行，为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，某学校开展足球射门比赛．随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分，得到这40名学生的得分(没有满分学生)，将他们的成绩分成六组：A：分；B：分；C：分；D：分；E：分；F：分，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．
（1）若D组数据为：15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，则这组数据的众数是______，中位数是______；
（2）若将此直方图绘制成扇形统计图，B：分所在扇形的圆心角的度数为______°；
（3）若用每组数据的组中值（如的组中值是）来代表该组同学的平均成绩；
①请求出这40名同学的总成绩；
②若此时再加上5名同学，要使总平均成绩不低于17分，求这5名同学的平均成绩至少为多少分？
【答案】（1）19，
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查众数定义，中位数定义，条形统计图数据分析，扇形统计图求圆心角度数，平均数定义，一元一次不等式实际应用．
（1）根据众数定义及中位数定义即可得到答案；
（2）先求出B组占比，再乘以即可；
（3）①用每组的组中值乘以对应组的人数即可得到40位学生总成绩；②设这5名同学的平均成绩至少为x分，列出关于x的一元一次不等式即可．
【小问1详解】
解：∵15，15，15，16，17，17，18，18，19，19，19，19，
∴众数为：19，中位数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵B：分有5人，共40人，
∴，
故答案为：45；
【小问3详解】
解：①根据条形统计图可得：；
②设这5名同学的平均成绩至少为x分，
∴，
解得：，
答：这5名同学的平均成绩至少为分．
23. 中国女排五次蝉联世界冠军为国争光．团结协作，顽强拼搏的女排精神激发了中国人的自豪、自尊和自信，为了储备青少年人才，某中学开展排球训练．嘉嘉站在原点O处发球，发现排球从出手到落地的过程中，排球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，嘉嘉发现其图象是二次函数的一部分（为球网）．
（1）在嘉嘉发球过程中，出手时排球的竖直高度是______米，排球在空中的最大高度是______米；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若球场的边界为点K，通过计算判断发出后的排球是否会出界？
【答案】（1）2，
（2）
（3）不会出界
【解析】
【分析】本题考查二次函数实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用函数值求自变量值．
（1）通过观察图表可知本题答案；
（2）设函数解析式为，通过图表知顶点坐标为，则函数解析式为，把代入中即可求出；
（3）通过（2）中求出的解析式令求出，再与值比较即可．
【小问1详解】
解：通过观察图表可知：
当水平距离为0时，出手的竖直高度为米，
排球最大值为，
故答案为：2，；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式，
∵通过图表知顶点坐标为，
∴函数解析式为，
把代入中，得：，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴令，得： ，解得：，
∵，，
∴发出后的排球不会出界．
24. 一透明的敞口正方体容器内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α．（注：图①中，图②中）
探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为______（填几何体的名称）；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V＝底面积×高）
拓展：在图①的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱或交于点P，点Q始终在棱上，设，则的长度为______（用含x的代数式表示）．
【答案】探究：三棱柱，；拓展： dm或
【解析】
【分析】本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式，一元一次方程，代数式表示线段，勾股定理等．根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于的一元一次方程即可得到．
【详解】解：探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱，
∵，，正方体容器，
∴，
∴，
∴图①中液体的体积：；
拓展：若容器向左旋转，主视图如图①
∵液体体积不变，
∴，
∴，
若容器向右旋转，主视图如图②，
同理可知，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点A，B的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．
（1）点D为平面镜的中点，若光线恰好经过点D，求所在直线的解析式（不要求写出x的取值范围）：
（2）若入射光线与平面镜有公共点，求n的取值范围．
（3）规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，直接写出点E是整点的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）7
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质．
（1）先求出线段中点D的坐标，再设所在直线的解析式为，将坐标分别代入即可得到；
（2）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案；
（3）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数．
【小问1详解】
解：∵点A，B的坐标分别为，点D为平面镜的中点，
∴，
∵，
∴设所在直线的解析式为，
将坐标分别代入中，
，解得：，
∴所在直线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当入射光线经过，时，
，解得：，
当入射光线经过，时，
，解得：，
∵入射光线与平面镜有公共点，
∴n的取值范围：；
【小问3详解】
解：作出点关于对称点，则，作直线，分别交轴于，
，
设直线的直线解析式为，
，解得：，
设直线的直线解析式为，
，解得：，
∵反射光线与y轴相交于点E，
∴点E纵坐标的取值范围为：，
∴点整点有：，共7个．
26. 【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
（2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为；
（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图所示，过点作轴于点，

∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，

同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
2