山东省菏泽市东明县长兴集乡初级中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A. 9B. 7C. 12D. 9或12
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：C．
2. 若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式在数轴上的表示，掌握不等式在数轴上的表示方法是解题的关键．根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得．
【详解】解：A、表示，故该选项不正确；
B、表示，故该选项不正确；
C、表示，故该选项正确；
D、表示，故该选项不正确；
故选：C．
3. 如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴是等腰三角形，即，
∴的周长是，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
4. 若a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. 5a<5bB. ac【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项判定即可．
详解】解：A、∵a∴5a<5b，成立，故此选项不符合题意；
B、∵a0时，acbc；不一定成立，故此选项符合题意；
C、∵a∴a+3D、∵a∴，成立，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键．
5. 如图，点D，E为的边上的点，且满足，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等知识，根据，只要求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6. 不等式的最大整数解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的最大整数解为，
故选：B．
7. 由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是
A. ∠A=37°，∠C=53°B. ∠A-∠C=∠B
C. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D. ∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．∠B=180°－（37°+53°）=90°，是直角三角形；
B．∠B+∠C=∠A=180°－∠A，∴∠A=90°，是直角三角形；
C．∠C=180°×=75°，不是直角三角形；
D．∠C=180°×=90°，是直角三角形．
故选C．
8. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A. 120x≥80×5%B. 120x﹣80≥80×5%
C. 120×≥80×5%D. 120×﹣80≥80×5%
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意找到不等关系再代入对应数据即可.
【详解】
设该商品打x折销售，根据题意可得：
故选：D．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是找到题目中的不等关系，再代入数据即可.
9. 如图，在中，，，的中垂线交于点D，交于点E，下述结论中正确的是（ ）
A. 点D是线段的中点B.
C. 的周长等于D. 平分
【答案】B
【解析】
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB＋BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD＝BD＝BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故A错误；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°−∠DBC−∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故B正确；
∴△BCD的周长为：BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝BC＋AB，故C错误；
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°，
∴，
∵，
∴，故D错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
10. 如图，一次函数的图象与直线相交于点（-1，3），则关于的不等式的解集为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点（-1，3）与点（0，1）求出一次函数与的解析式，然后利用解不等式的方法求解即可；也可以通过观察图象，比较函数值大小来确定的的取值范围．
【详解】解法一：依据题意有点（-1，3）与点（0，1）在一次函数的图象上，
∴，
解得 ，
点（-1，3）在直线的图象上，
∴m=3，
∴即为，解得．
解法二：∵，
∴，
∵，，
∴，即一次函数的图象在直线的上面部分，
观察图象，这部分图象对应的的取值范围是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. x的3倍小于6，用不等式表示为_______．
【答案】3x＜6
【解析】
【分析】直接利用“x的3倍”即3x，再利用“小于6”即可得出不等式．
【详解】解：根据题意可得：3x＜6．
故答案为：3x＜6．
【点睛】本题主要考查列不等式，解决本题的关键是要正确理解题意确定关系用含x的式子表示.
12. 如图，在中，点是的中点，连接，，则的度数为______
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意得到，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：在中，点是的中点，
，
，
，
故答案为：．
13. 不等式的正整数解有______个
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：由，
∴，
∴，
∴，
∴该不等式的正整数解为：1，2，3，4，
∴该不等式的正整数解,4个，
故答案：4．
14. 如图，已知的周长是42，分别平分和，于点D，且，则的面积是______

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点O作于E，于F，连接，由角平分线的性质得到，由三角形周长公式得到，再由进行求解即可．
详解】解：如图所示，过点O作于E，于F，连接，
∵分别平分和，，，，
∴，
∵的周长是42，
∴，
∴
，
故答案为；．

15. (x-m)>3-m的解集为x>3,则m的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合并同类项求出x的取值范围，再与已知解集相比较即可求出m的取值范围．
【详解】去括号得：x−m＞3−m，
移项得：x＞3−m+m，
合并同类项得；x＞3−m，
系数化为1得；x＞6-2m，
∵不等式的解集为x＞3，
∴6-2m=3，
解得：m=，
故答案为．
【点睛】考查了解一元一次不等式，和解一元一次方程组，根据不等式的解集为x＞3列出关于m的方程是解题的关键．
16. 如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】连接，证明，进一步证明，可得，利用三角形三边关系可知P、B、E共线时，的值最小，最小值为的长度，即可求解
【详解】解：如图，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、B、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴的最小值是6．
故答案为：6
【点睛】本题考查线段最值问题，涉及等腰三角形的性质、三角形三边关系的应用等知识，解题的关键是通过添加辅助线将所求线段进行转化．
三、解答题
17. 解不等式并将其解集表示在数轴上
（1）
（2）
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后再数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后再数轴上表示出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
数轴表示如下：
【小问2详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
数轴表示如下：
18. 已知：如图，， 求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，证明得到，即可证明．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19. 防疫知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．强强得分要超过50分，他至少要答对多少道题？
【答案】他至少要答对11道题
【解析】
【分析】设强强答对了x道题，然后根据每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．强强得分要超过50分，列出不等式求解即可．
【详解】解：设强强答对了x道题，
由题意得：，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最小值为11，
∴他至少要答对11道题，
答：他至少要答对11道题．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
20. 如图，在中，，过点A作交于点D，平分交于点E，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识．
（1）由等腰三角形的性质，得到垂直平分，，进而得到，则问题可证；
（2）由角平分线定义得到，再证明，由得到，证明，则问题可证．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵平分，
∴，
由（1），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
21. 某中学计划购买型和型课桌凳共套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元，且购买套型和套型课桌凳共需元．
（1）求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过元，求该校本次至少购买型课桌凳多少套？
【答案】（1）购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需元和元
（2）该校本次至少购买型课桌凳套
【解析】
【分析】对于（1），先设购买一套型课桌凳需元，购买一套B型课桌凳需要y元，再根据购买一套A型课桌凳一套B型课桌凳40，购买4套A型费用5套B型课桌凳的费用1820，列出方程组，然后求出解即可；
对于（2），先设购买型课桌凳套，表示购买型课桌凳的套数，再根据购买两种课桌凳总费用40880，列出不等式，求出解即可.
【小问1详解】
设购买一套型课桌凳需元，购买一套B型课桌凳需要y元，由题意得：
，
解得．
答：购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需元和元．
【小问2详解】
设购买型课桌凳套，则购买型课桌凳套．
由题意得，
解得：，
答：该校本次至少购买型课桌凳套．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，根据等量关系（不等关系）列出方程组（不等式）是解题的关键．
22. 已知一次函数的图象经过点，．
（1）结合函数图象，直接写出的解集；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）观察图象写出函数值大于时自变量的取值范围即可；
（2）将点，的坐标分别代入，利用待定系数法即可解决问题；
（3）设一次函数的图象与轴交点为，由一次函数的解析式求得的坐标，然后根据即可求解．
【小问1详解】
解：观察图象可知：关于的不等式的解集为；
【小问2详解】
将点，的坐标分别代入中，
得，
解得，
故一次函数的解析式；
【小问3详解】
设一次函数的图象与轴交点为，
令，则，解得，
，
．