山东省菏泽市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：100分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.
【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.
故选：C.
2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
3. 化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加法、减法法则计算即得.
【详解】.
故选：C
4. 已知向量，，且，则x＝（ ）
A. 9B. 6C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，解得
故选：B
5. 已知平面向量，满足，，，则（ ）．
A. 2B. C. 4D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，向量，满足，，，
又由，
所以.
故选：A.
6. 已知，为单位向量，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解
【详解】，为单位向量，当向量，的夹角等于时，
则在上的投影向量为．
故选：．
7. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】由余弦定理可得，即，
，解得或.
故选：C.
8. 初等数学的应用性发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.对于一切，三个内角，，所对的边分别是a，b，c，始终满足：（其中，是外接圆的半径）.若的边长，外接圆半径，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理建立方程求解即可.
【详解】解：由已知得，即，解得，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若， 则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相等向量的定义判断A、C，根据共线向量的定义判断D，根据数量积的定义及数量积的几何意义判断B.
【详解】对于A：若，由于无法确定、的方向，故无法得到与是否相等，故A错误；
对于B：若，则，
当时，即与在方向上的投影相等，故B错误；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：当、、且与不共线时，
满足，，但是与不共线，故D错误.
故选：ABD
10. 已知向量，设夹角为，则（ ）
A. B.
C. ∥D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知条件求出的坐标，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为，
所以，
对于A，因为，所以，
所以，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以与不共线，所以C错误，
对于D，因为，的夹角为，
所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：BD
11. 在中，角的对边分别是，若，则角B的值为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理，结合同角公式计算即得.
【详解】在中，由余弦定理得，又，
因此，解得，而，
所以或.
故选：AD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 化简：________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量加法的运算法则即可化简求解.
【详解】解:
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则，向量的加法满足交换律.属于基础题
13. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____．
【答案】（1，5）
【解析】
【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
【详解】设D（x，y）则
在平行四边形ABCD中
∵
又∵
∴解得
故答案为：（1，5）
【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度__________.
【答案】
【解析】
【分析】在中利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】由题可得，，，则.
则在中，由正弦定理，有.
又在中，
所以，则.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；
（2）根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，，与的夹角为，
所以.
【小问2详解】
.
16. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若，求.
【答案】（1）3； （2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，列式计算即得.
（2）利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【小问1详解】
向量，，由，得，所以.
小问2详解】
向量，，由，得，所以.
17. 在中，已知，，，
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理计算可得.
【小问1详解】
在中由余弦定理，
即，
所以或（舍去）.
【小问2详解】
在中由余弦定理，
即，解得
18. 已知，.
（1）若，，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得．
【小问1详解】
因为，，
所以，，
因为、、三点共线，
所以，
所以，解得.
小问2详解】
因为，
，
又与垂直，
，解得．
19. 热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用外还可用于测量.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度.
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
又因为，所以，
又中由正弦定理，即，
所以，
所以.