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新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题原卷版docx、新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
命题人：楚莹莹 审核人：侯艳君
时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
选择题每题5分.
一、单选题
1. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果．
【详解】由，则，所以，
故选：B．
2. 函数在区间内的单调性是（ ）
A. 单调递增B. 单调递减
C. 先增后减D. 先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的符号可得答案.
【详解】，
当时，
所以在上单调递增.
故选：A
3. 函数在处的切线的斜率为（ ）
A 2B. -2C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.
【详解】，故，
故曲线在处的切线的斜率为2，
故选：A.
4. 从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为（ ）
A. 504B. 336C. 72D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】根据三位数的个位为以及分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意可知，这些三位数的个位为，
所以这样的三位数有个.
故选：D
5. 的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为（ ）
A. 84，21B. 21，84C. 35，280D. 280，35
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的展开式中第3项，即可求解.
【详解】因为的展开式中第3项为，
所以的展开式中第3项的系数为，
的展开式中第3项的二项式系数为.
故选：A
6. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
7. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，，所以，
令，，对称轴为，
当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；
所以，依题意使得，且当时，当时，
使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，
所以，所以，解得，即；
故选：A
8. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 180B. 150C. 120D. 210
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式．
故选：A．
二、多选题
9. (多选)若，则x的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用组合数性质求解.
【详解】因为，
所以或，
解得或，
故选：AC.
10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A，，，
当时，，，，故在上不是凸函数；
对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.
故选：BC
11. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】结合已知条件，结合导数求导法则，即可求解.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D正确，
故选：CD．
12. 已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助导数定义及导函数的图象与原函数的图象的关系逐项判断即可得.
【详解】对A：由图可知，，故A正确；
对B：由图可知，当时，恒成立，
故函数在上单调递减，故B正确；
对C：由图可知，当时，，当，，
故函数在处取得极大值，故C正确；
对D：由图可知，当时，恒成立，
故在上单调递增，无最大值，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题共4小题，每题5分，共20分.解答题：第17题10分；第18题至22题，每题12分.共70分.
三、填空题
13. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据特殊位置优先考虑，先考虑末尾数，有种，在考虑首位非零有种，剩下的两个位置有，然后再根据分步计数原理即可求出结果.
【详解】特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有种，在考虑首位非零有种，
剩下的两个位置有种，
则由分布乘法计数原理，得到共有奇数种，
故答案为:36.
【点睛】本题主要考查排列组合和分步计数原理等知识，属于基础题.
14. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
【答案】630.
【解析】
【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.
【详解】用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，
若第三个格子与第一个格子同色，
则有种涂色方法；
若第三个格子与第一个格子不同色，
则有种涂色方法；
综上，共有种涂色方法.
故答案为630
【点睛】本题主要考查排列中的涂色问题，根据分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.
15. 的展开式中常数项为__________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】∵展开式第项，
∴当时，，
故展开式中常数项为.
故答案为：60.
16. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解.
【详解】点不在曲线上．
设所求切线的切点为，
则切线的斜率，
故所求的切线方程为，
将及代入上式，得，
解得或，所以切点为或．
从而所求切线方程为或.
故答案为：或.
四、解答题
17. （1）若,,求的值；
（2）的值(用数字作答).
【答案】（1）7；（2）164
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式即可得到结果.
（2）利用求解．
【详解】(1)
即：
解得：或舍去）
(2)
＝（）
＝（）1
＝（）1
1
1
1＝164．
故答案为164．
【点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.
18. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选人排成一排；
（2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻.
【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种.
【解析】
【分析】（1）从人中选人排成一排，利用排列数公式可求得结果；
（2）先考虑甲的位置，有种排法，然后将其他人全排，利用分步乘法计数原理可求得结果；
（3）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】（1）从人中选人排列，有（种）；
（2）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有（种）；
（3）（捆绑法）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）；
（4）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有（种）.
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19. 已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）1；（2）增区间，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论.
（2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.
（3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值.
【详解】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）由（2）得函数极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题.
20. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
【答案】（1），
（2）元千克
【解析】
【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解.
【小问1详解】
由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
【小问2详解】
设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
21. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.
（1）求的值和的方程；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2），求导，根据单调性求出最值即可.
【小问1详解】
由已知
因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，解得，又
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
22. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；
（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由可得，
若，则；若，则.
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.
【小问2详解】
当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，
函数的定义域为，，
由，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
命题人：楚莹莹 审核人：侯艳君
时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
选择题每题5分.
一、单选题
1. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果．
【详解】由，则，所以，
故选：B．
2. 函数在区间内的单调性是（ ）
A. 单调递增B. 单调递减
C. 先增后减D. 先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的符号可得答案.
【详解】，
当时，
所以在上单调递增.
故选：A
3. 函数在处的切线的斜率为（ ）
A 2B. -2C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率.
【详解】，故，
故曲线在处的切线的斜率为2，
故选：A.
4. 从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为（ ）
A. 504B. 336C. 72D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】根据三位数的个位为以及分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意可知，这些三位数的个位为，
所以这样的三位数有个.
故选：D
5. 的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为（ ）
A. 84，21B. 21，84C. 35，280D. 280，35
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的展开式中第3项，即可求解.
【详解】因为的展开式中第3项为，
所以的展开式中第3项的系数为，
的展开式中第3项的二项式系数为.
故选：A
6. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
7. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，，所以，
令，，对称轴为，
当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；
所以，依题意使得，且当时，当时，
使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，
所以，所以，解得，即；
故选：A
8. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 180B. 150C. 120D. 210
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式．
故选：A．
二、多选题
9. (多选)若，则x的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用组合数性质求解.
【详解】因为，
所以或，
解得或，
故选：AC.
10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A，，，
当时，，，，故在上不是凸函数；
对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.
故选：BC
11. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】结合已知条件，结合导数求导法则，即可求解.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D正确，
故选：CD．
12. 已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助导数定义及导函数的图象与原函数的图象的关系逐项判断即可得.
【详解】对A：由图可知，，故A正确；
对B：由图可知，当时，恒成立，
故函数在上单调递减，故B正确；
对C：由图可知，当时，，当，，
故函数在处取得极大值，故C正确；
对D：由图可知，当时，恒成立，
故在上单调递增，无最大值，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题共4小题，每题5分，共20分.解答题：第17题10分；第18题至22题，每题12分.共70分.
三、填空题
13. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据特殊位置优先考虑，先考虑末尾数，有种，在考虑首位非零有种，剩下的两个位置有，然后再根据分步计数原理即可求出结果.
【详解】特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有种，在考虑首位非零有种，
剩下的两个位置有种，
则由分布乘法计数原理，得到共有奇数种，
故答案为:36.
【点睛】本题主要考查排列组合和分步计数原理等知识，属于基础题.
14. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
【答案】630.
【解析】
【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.
【详解】用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，
若第三个格子与第一个格子同色，
则有种涂色方法；
若第三个格子与第一个格子不同色，
则有种涂色方法；
综上，共有种涂色方法.
故答案为630
【点睛】本题主要考查排列中的涂色问题，根据分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.
15. 的展开式中常数项为__________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】∵展开式第项，
∴当时，，
故展开式中常数项为.
故答案为：60.
16. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解.
【详解】点不在曲线上．
设所求切线的切点为，
则切线的斜率，
故所求的切线方程为，
将及代入上式，得，
解得或，所以切点为或．
从而所求切线方程为或.
故答案为：或.
四、解答题
17. （1）若,,求的值；
（2）的值(用数字作答).
【答案】（1）7；（2）164
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式即可得到结果.
（2）利用求解．
【详解】(1)
即：
解得：或舍去）
(2)
＝（）
＝（）1
＝（）1
1
1
1＝164．
故答案为164．
【点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.
18. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选人排成一排；
（2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻.
【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种.
【解析】
【分析】（1）从人中选人排成一排，利用排列数公式可求得结果；
（2）先考虑甲的位置，有种排法，然后将其他人全排，利用分步乘法计数原理可求得结果；
（3）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】（1）从人中选人排列，有（种）；
（2）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有（种）；
（3）（捆绑法）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）；
（4）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有（种）.
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19. 已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）1；（2）增区间，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论.
（2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.
（3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值.
【详解】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）由（2）得函数极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题.
20. 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
【答案】（1），
（2）元千克
【解析】
【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解.
【小问1详解】
由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
【小问2详解】
设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
21. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.
（1）求的值和的方程；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2），求导，根据单调性求出最值即可.
【小问1详解】
由已知
因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，解得，又
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
22. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；
（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由可得，
若，则；若，则.
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.
【小问2详解】
当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，
函数的定义域为，，
由，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
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