2024年内蒙古乌海二中中考数学零模试卷（含详细解析）

这是一份2024年内蒙古乌海二中中考数学零模试卷（含详细解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
3．（3分）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
5．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（ ）
A．10B．24C．48D．50
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是 ．
12．（3分）若a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝ ．
13．（3分）若+＝2，则＝ ．
14．（3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是 ．
15．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF•CA；
④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（8分）（1）计算：
（2）化简：．
18．（8分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
19．（8分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cs67°≈，tan67°≈）
20．（11分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本＝每吨成本×总产量）
（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润＝售价﹣成本）
21．（12分）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
22．（12分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB．
（1）求证：∠APO＝∠BPO；（用两种证法解答）
（2）若DP＝DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论．
23．（13分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC＝OB，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）分别求出a，b的值和直线AD的解析式；
（2）直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024年内蒙古乌海二中中考数学零模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
1．（3分）下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【解答】解：A.，错误，不符合题意；
B.，正确，符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（3分）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义；三角形的角平分线、中线和高．
【答案】D
【分析】根据翻折的性质和图形，可以判断直线l与△ABC的关系．
【解答】解：由已知可得，
∠1＝∠2，
则l为△ABC的角平分线，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（3分）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件；实数与数轴．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是负数，进而得出答案．
【解答】解：使有意义，
则x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4．（3分）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【考点】平行线的性质．
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得∠DAC．
5．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6．（3分）反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】反比例函数的性质．
【答案】C
【分析】根据图象，当x＝2时，函数值在1和2之间，代入解析式即可求解．
【解答】解：如图，当x＝2时，y＝，
∵1＜y＜2，
∴1＜＜2，
解得2＜k＜4，
所以k＝3．
故选：C．
【点评】解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
7．（3分）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】可能性的大小．
【答案】A
【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可．
【解答】解：A、石子落在阴影部分的可能性为；
B、石子落在阴影部分的可能性为；
C、石子落在阴影部分的可能性为；
D、石子落在阴影部分的可能性为；
∵最小的为，
故选：A．
【点评】本题考查了可能性的大小的知识，解题的关键是能够分别求得可能性的大小，难度不大．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解．
【答案】C
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（ ）
A．10B．24C．48D．50
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形；反比例函数的性质．
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C（6，8），将点C坐标代入解析式可求k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），
∴OC＝OA＝10，
∵sin∠COA＝＝．
∴CE＝8，
∴OE＝＝6
∴点C坐标（6，8）
∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，
∴k＝6×8＝48
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′＝45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝4，得出正方形边长即可．
【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是 1 ．
【考点】数轴；相反数．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【解答】解：∵点A、B表示的数互为相反数，
∴原点在线段AB的中点处，
∴点C对应的数是1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
12．（3分）若a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝ 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】3．
【分析】先估算的大小，再根据已知条件求出a，b，然后把a，b的值代入a+b进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵a＜＜b，a、b为两个连续整数，
∴a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
13．（3分）若+＝2，则＝ ．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将+＝2转化为＝2，进而得到a+b＝2ab，然后将原式化为，再代入求值．
【解答】解：∵若+＝2，
∴＝2，
∴a+b＝2ab，
原式＝＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式的加减乘除运算是解题的关键．
14．（3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 ．
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．
【答案】．
【分析】过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，根据将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，得到OC＝CD＝r，得到OC＝OA，得到∠OAC＝30°，进而证明△AOD是等边三角形，得到∠D＝60°，在Rt△AOC中根据勾股定理求出半径r，证明△ACD≌△BCO，可以将△BCO补到△ACD上，得到阴影部分的面积＝S扇形ADO，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，
根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，
∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，
∴OC＝CD＝r，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，
∴（）2+（r）2＝r2，
解得：r＝2，
∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，
∴△ACD≌△BCO（SAS），
∴阴影部分的面积＝S扇形ADO＝×π×22＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换（折叠问题），在Rt△AOC中，根据OC＝OA，得到∠OAC＝30°是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF•CA；
④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】三角形综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断出∠BCD＝∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC＝110°，进而得出∠AEC＝110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE＝∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2＝CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；
先求出BC＝AC＝3，再求出BD＝，进而求出CE＝CD＝，求出CF＝，即可判断出④错误．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠B＝45°
∵∠BCD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝110°，
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠CED＝45°，
则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
∴CE2＝CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∵AD＝2BD，
∴BD＝AB＝，
∴DG＝BG＝1，
∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝＝，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE＝，
∵CE2＝CF•AC，
∴CF＝＝，
∴AF＝AC﹣CF＝3﹣＝，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（8分）（1）计算：
（2）化简：．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解；
（2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【解答】解：（1）
＝3﹣|﹣2+|+1
＝3﹣2++1
＝2+；
（2）
＝•
＝．
【点评】本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
18．（8分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 15 ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 144° ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．
【答案】（1）15，144°；
（2）估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）．
【分析】（1）由D等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：15，144°；
（2）2000×＝760（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cs67°≈，tan67°≈）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，得矩形CDEF，再根据锐角三角函数即可求出观测塔A与渔船C之间的距离．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，
得矩形CDEF，
∴CF＝DE，
根据题意可知：
AE＝5海里，∠BAE＝22°，
∴BE＝AE•tan22°≈5×＝2（海里），
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里），
∴CF＝4（海里），
在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，
∴AC＝≈4×≈4.3（海里）．
答：观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
20．（11分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本＝每吨成本×总产量）
（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润＝售价﹣成本）
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过55吨时，得出x的取值范围；
（2）根据总成本＝每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．
（3）先利用待定系数法求出每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式，再分别求出对应的销售单价、成本，根据利润＝售价﹣成本，即可解答．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，45）（20，40）代入解析式得：
，
解得：
∴y＝﹣0.5x+50，（10≤x≤55）．
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，
即x（﹣0.5x+50）＝1200，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵10≤x≤55，
∴x＝40，
∴该产品的总产量为40吨．
（3）设每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式为m＝k1n+b1，
把（40，30），（55，15）代入解析式得：
解得：，
∴m＝﹣n+70，
当m＝25时，n＝45，
在y＝﹣0.5x+50，（10≤x≤55）中，当x＝25时，y＝37.5，
∴利润为：25×（45﹣37.5）＝187.5（万元）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本＝每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键．
21．（12分）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）（i）60°；（ii）见解析．
【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△BOC，得DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形，再根据CD＝CB，即可证明结论；
（2）（i）根据线段垂直平分线的性质得，AE＝EC，ED＝EB，则∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根据平角的定义，可得答案；
（ii）利用AAS证明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性质，即可证明结论．
【解答】（1）证明：设CE与BD交于点O，
∵CB＝CD，CE⊥BD，
∴DO＝BO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠BCO，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE≌△BOC（AAS），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵CD＝CB，
∴平行四边形BCDE是菱形；
（2）（i）解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC且DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE＝BE，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，
∴∠CED＝；
（ii）证明：由（i）得AE＝EC，
又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，
∴∠ACE＝30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，
∴∠ACE＝∠ABF＝30°，
在△ACE与△ABF中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AC＝AB，
又∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
即BE＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（12分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AO并延长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB．
（1）求证：∠APO＝∠BPO；（用两种证法解答）
（2）若DP＝DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【答案】（1）证明见解析；（2）PB＝PD，理由见解析．
【分析】（1）方法一：连接OB，利用切线的性质定理和到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上解答即可；方法二：连接OB，利用切线的性质定理和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
（2）过点D作DE⊥PB于点E，连接OB，利用切线的性质定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得∠POB＝60°，再利用直角三角形的边角关系定理和等腰三角形的三线合一的性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：方法一，连接OB，如图，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA＝OB，
∴点O到∠APB的两边的距离相等，
∴点O在∠APB的平分线上，
即PO为∠APB的平分线，
∴∠APO＝∠BPO；
方法二，连接OB，如图，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠APO＝∠BPO；
（2）解：PB与PD之间的数量关系为：PB＝PD，理由：
过点D作DE⊥PB于点E，连接OB，如图，
由（1）知：OB⊥PB，
∴∠OBD+∠PBD＝90°，∠DPB+∠BOD＝90°．
∵DP＝DB，
∴∠PBD＝∠DPB，
∴∠OBD＝∠BOD，
∴OD＝BD，
∵OB＝DO，
∴OD＝BD＝OB，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DPB＝30°．
在Rt△PDE中，
∵cs∠DPE＝，
∴，
∴PE＝PD．
∵DP＝PB，DE⊥PB，
∴PE＝BE＝PB，
∴PB＝2PE＝PD．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23．（13分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC＝OB，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）分别求出a，b的值和直线AD的解析式；
（2）直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣3；直线AD的解析式y＝﹣x﹣1；
（2）△MPH的周长的最大值为4+4；
（3）在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似；点G的坐标为（，0）或（，0）．
【分析】（1）先求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，﹣4），然后可求得直线AD的解析式y＝﹣x﹣1；
（2）求得∠BAD＝45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM＝﹣a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长＝（1+）PM求解即可；
（3）当∠EGN＝90°时，如果＝ 或＝时，则△AOC∽△EGN，设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4），则EG＝a﹣1，NG＝﹣a2+3a+4，然后根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1．
令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），OC＝4，
∵OC＝OB，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∵将x＝0，y＝﹣4代入得：﹣4a＝﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
∴a＝1，b＝﹣3；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，C（0，﹣4），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）；
设直线AD的解析式为y＝kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：
，
解得k＝﹣1，b＝﹣1，
∴直线AD的解析式y＝﹣x﹣1；
（2）∵直线AD的解析式y＝﹣x﹣1，
∴直线AD的一次项系数k＝﹣1，
∴∠BAD＝45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP＝90°，
∴∠PMH＝∠AME＝45°．
∴△MPH的周长＝PM+MH+PH＝PM+MP+PM＝（1+）PM．
设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），
则PM＝﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4．
∴当a＝1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值＝4×（1+）＝4+4；
（3）在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似；理由如下：
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）
①如图2.1，
若＝ 时，△AOC∽△EGN．
则 ＝，整理得：a2+a﹣8＝0．
得：a＝（负值舍去），
∴点G为（，0）；
②如图2.2，
若＝时，△AOC∽△NGE，
则＝4，整理得：4a2﹣11a﹣17＝0，
得：a＝（负值舍去），
∴点G为（，0），
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM的长与a的函数关系式是解题的关键．
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等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
x（吨）
10
20
30
y（万元/吨）
45
40
35
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
x（吨）
10
20
30
y（万元/吨）
45
40
35