广东省珠海市文园中学（集团）2024年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷

这是一份广东省珠海市文园中学（集团）2024年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了下列运算正确的是，正十二边形的外角和为，化简的结果是，如图，正方形中，，点在边上，且等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是
A．B．C．D．
4．正十二边形的外角和为
A．B．C．D．
5．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是
A．5，4B．5，6C．6，5D．6，6
6．化简的结果是
A．0B．1C．D．
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则
A．B．C．D．
8．如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为
A．B．C．D．
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（每题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．不等式组的解集为 ．
13．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
14．若圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ．
15．在某次救援中，某武警部队探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，为了准确测出生命迹象所在的深度，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上相距5米的，两处，用仪器探测生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和（如图），则该生命迹象所在位置的深度（结果取准确值）为 米．
16．如图，在Rt中，，，，点P为平面内一点，且，，过点作⊥交的延长线交于点，则的最大值是 ．
三、解答题（一）（每题7分，共21分）
17．（1）解方程：；
（2）已知平行四边形的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形边的取值范围．
18．如图，已知中，，，．
（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．
19．甲辰龙年3月，圆明园兽首暨海外回流文物特展在珠海博物馆展出，全国各地的游客慕名而来，感受国宝魅力．珠海市文园教育集团组织开展参观活动，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用1000元购进款和用800元购进款文化衫的数量相同．求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
四、解答题（二）（每题9分，共27分）
20．“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：文学类，科幻类，漫画类，数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
（1）本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ；
（2）在扇形统计图中，“漫画类”对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
21．如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接、、，若，，求的半径．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式＞的解集；
（3）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．
五、解答题（三）（每题12分，共24分）
23．综合与实践．
问题情境：“综合实践课”上，老师画出了如图1所示的矩形，（其中，（不与点重合）是边上的动点，连接点与边的中点，将沿直线翻折得到，延长交于点（点不与点重合），作的平分线，交矩形的边于点．问与的位置关系？
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题，并说明理由．
深入探究：
（2）老师将图1中的图形通过几何画板改动为如图2，在点运动过程中，连接，若，，三点共线，点与点刚好重合，求的值．
（3）若，连接，，当是以为直角边的直角三角形，且点落在边上时，请直接写出的值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：．
2．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
3．下列运算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：．，原计算正确，符合题意；
．，原计算错误，不符合题意；
．3与不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
．，原计算错误，不符合题意；
故选：．
4．正十二边形的外角和为
A．B．C．D．
【解答】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为：．故选：．
5．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是
A．5，4B．5，6C．6，5D．6，6
【解答】解：将数据从小到大排列为：3，3，4，4，5，6，6，6，7，
这组数据的中位数为5，众数为6．
故选：．
6．化简的结果是
A．0B．1C．D．
【解答】解：原式=．
故选：．
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，，，
，
水面与杯底面平行，
，
．
故选：．
8．如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：设交于点，
，，
，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
故选：．
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：根据二次函数的图象可知，，，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：．
10．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①正确．理由：，，，
；②正确．
理由：，设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，解得．
；③正确．
理由：，，，
是等腰三角形，．
又；，，
，；④错误．
理由：
，，和等高，，
．故④不正确．
正确的个数有3个．故选：．
二．填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
12．不等式组的解集为 ．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
13．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
【解答】解：
一元二次方程的两根分别为，，
，，
，
故答案为：．
14．若圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 6 ．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为6．
15．在某次救援中，某武警部队探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，为了准确测出生命迹象所在的深度，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上相距5米的，两处，用仪器探测生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和（如图），则该生命迹象所在位置的深度（结果取准确值）为 米．
【解答】解：过点作交 的延长线于点，
设米，
在中，，
则（米，
在中，，
则（米，
由题意得：，
解得：，
答：该生命迹象所在位置的深度为米．
16．如图，在Rt中，，，，点P为平面内一点，且，，过点作⊥交的延长线交于点，则的最大值是 ．
【解答】解：，，，∴，
，
当有最大值时，有最大值，
，
点，点，点，点四点共圆，
最大值为直径，
，
是直径，
的最大值为5，
的最大值为，
故答案为．
三．解答题（共7小题）
17．（1）解方程：；
（2）已知平行四边形的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形边的取值范围．
【解答】解：（1），．
（2）由（1），得，．
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，由三角形的三边关系定理得：
，
即边的取值范围是．
18．如图，已知中，，，．
（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）垂直平分，
，
，
，，
，
，
的周长．
19．甲辰龙年3月，圆明园兽首暨海外回流文物特展在珠海博物馆展出，全国各地的游客慕名而来，感受国宝魅力．珠海市文园教育集团组织开展参观活动，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用1000元购进款和用800元购进款文化衫的数量相同．求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
【解答】解：设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
20．“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：文学类，科幻类，漫画类，数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
（1）本次抽查的学生人数是 80 ，统计表中的 ；
（2）在扇形统计图中，“漫画类”对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【解答】解：（1）（人，（人，答：本次抽查的学生人数是80人，统计表中的；
故答案为：80，32；
（2）“漫画类”对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
（3）（人，
答：估计该校学生选择“数理类”书籍的学生人数约为120人；
（4）列树状图如图所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中他们选择同一社团的可能性有4种，
他们选择同一社团的概率为．
21．如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接、、，若，，求的半径．
【解答】（1）证明：连接，，如图，
点是半圆的中点，
，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
即，
．
为的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
是的直径，
，
，
．
，，
，
，
，
．
设的半径为，则，
，
，
解得：．
的半径为．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式＞的解集；
（3）设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标．
【解答】解：（1）点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）不等式＞的解集为或
（3）由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
23．综合与实践．
问题情境：“综合实践课”上，老师画出了如图1所示的矩形，（其中，（不与点重合）是边上的动点，连接点与边的中点，将沿直线翻折得到，延长交于点（点不与点重合），作的平分线，交矩形的边于点．问与的位置关系？
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题，并说明理由．
深入探究：
（2）老师将图1中的图形通过几何画板改动为如图2，在点运动过程中，连接，若，，三点共线，点与点刚好重合，求的值．
（3）若，连接，，当是以为直角边的直角三角形，且点落在边上时，请直接写出的值．
【解答】解：（1）．理由如下：
由翻折可知．
平分，
．
四边形是矩形，
，
，
，
；
（2）由翻折知，，
，，三点共线，
又，，
，
．
是的中点，
设，则．
，
．
在中，由勾股定理得，
．
，
，
；
（3）的值为3或．
设，
，
，
由题意知，分或，两种情况求解：
①若点在上，当时，此时，如图1，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，，
；
②若点在上，当时，如图2，过点作于点，此时，，三点在同一直线上，四边形是矩形，
由（2）可知，，，
，即，
解得：，
，
；
综上所述，的值为3或．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将点，，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）点，，
抛物线的对称轴为直线，
设直线与轴交于点，过点作于点，
当在轴上方时，如图：
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
；
当在轴下方时，如图：
同理可得，，，
设，则，
把代入得：
，
解得（舍去）或，
；
当点与点重合时，如图所示，
，是等腰直角三角形，且，
，
此时，
由对称性可得，点也满足条件，
综上所述，或或或；
（3）为定值6，理由如下：
设，直线的解析式为，的解析式为，
点，，，
，，
解得：，，
直线的解析式为，的解析式为，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
在抛物线上，
，
，
为定值6．书籍类别
学生人数
文学类
24
科幻类
漫画类
16
数理类
8
书籍类别
学生人数
文学类
24
科幻类
漫画类
16
数理类
8