广东省中山市迪茵公学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题及答案

这是一份广东省中山市迪茵公学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．化简： （ ）
A．B．C．D．
2．已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知都是单位向量，满足则＝（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ）

A．4B．6C．8D．10
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则或.
B．若，则与共线.
C．若是平面内的一个基底，则平面内任一向量都可以表示为且这对实数，是唯一的.
D．若，，与的夹角为锐角，则实数.
10．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
三、填空题
12．已知向量满足，则向量在上的投影向量为 .
13．函数的部分图象如图所示，则 .

14．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
16．已知平面向量，．
（1）若，且，求的坐标；
（2）当为何值时，与垂直．
17．已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）.
(1)求的最小值；
(2)设线段与的交点为，求的最小值.
18．已知函数.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
0：00
5.0
9：00
2.5
18：00
5.0
3：00
7.5
12：00
5.0
21：00
2.5
6：00
5.0
15：00
7.5
24：00
5.0
参考答案：
1．B
【分析】利用向量的加减运算法则即可求解.
【详解】

故选：.
2．B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
3．D
【详解】由几何关系与向量的坐标表示求解
【分析】由题意得，设，
则，，
解得，
故选：D
4．B
【分析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算.
5．A
【分析】利用已知条件求出，然后利用向量的夹角公式计算即可.
【详解】即
即.
，
.
故选：A
6．C
【分析】先由诱导公式求出的值，再利用拆分角求得结果.
【详解】由，
得.
故选：C.
7．C
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.
【详解】，
，，
，
，
，
即，所以.
故选：C.
8．C
【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.
【详解】依题意得，，，，
所以，
，
所以
.
故选：C
9．BC
【分析】A选项直接由向量的概念判断；B选项由共线定理判断；C选项由平面向量基本定理判断；
D选项由夹角为锐角时数量积大于0且不共线即可判断.
【详解】说明模长相等，但方向不确定，A错误；由平面向量共线定理知B正确；
由平面向量基本定理知C正确；与的夹角为锐角，又，
可得，解得且，D错误.
故选：BC.
10．AC
【分析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.
【详解】A选项，，即，
化简得：，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D.
【详解】依据表格中数据知，可设函数为，
由已知数据求得，，周期，所以﹐
所以有，选项A错误；选项B正确；
由于船进港水深至少要6.25，所以，得，
又，则有或，
从而有或，选项C，D都正确.
故选：BCD
【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角；
长为一个周期的区间内相位所在范围.
12．
【分析】由投影向量的公式计算可得.
【详解】，
又在上的投影向量为，
故答案为：.
13．0
【分析】根据函数图像确定以及的值，可得函数解析式，结合特殊角三角函数值，即可得答案.
【详解】由图象可知的最小正周期，故；
将代入可得，则，
故，而，故，
即，故，
故答案为：0
14．
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
15．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦值确定角的范围，再由同角的三角函数关系确定余弦值，再用余弦展开式求解即可；
（2）由同角的三角函数和余弦展开式结合拆角后得到.
【详解】（1）因为，且，
所以，.
（2），
因为，
所以，
因为，所以.
16．（1）的坐标为或；（2）．
【分析】（1）根据向量平行关系及模长公式可得的坐标；
（2）利用垂直关系的坐标形式可得结果.
【详解】（1）平面向量，，，
，
由，，
当时，的坐标为；
当时，的坐标为．
（2）由于与垂直，，
，
．
17．(1)0
(2)
【分析】（1）以点为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果；
（2）根据三角形相似得出，再求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果.
【详解】（1）设，如图建立直角坐标系：
，
当时，有最小值，最小值为0；
（2）由图可得：
则
，
当且仅当即时取等号，
的最小值为.
18．(1)对称中心为；对称轴为；
(2)和；
(3)或.
【分析】（1）将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可；
（2）利用正弦函数的对称区间解出即可；
（3）先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程在上仅有一个实根，然后令结合二次函数的性质解出即可.
【详解】（1）∵
，
令，解得，
所以对称轴为；
令，解得，
所以对称中心为.
（2）由（1）得，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（3）将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域；
（2）利用向量的坐标运算即可求得；
（3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围.
【详解】（1）函数的“源向量”为，
所以，，
则，则当时，
则当时，，
所以函数的值域为
（2）因为，则，则，
又，所以），
且，从而，
，
则
；
因此可得为定值.
（3）如下图所示：
函数的“源向量”为，
则，则
则
则又，
即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述，
令，则
从而，其中，
所以，
即的取值范围．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果.