湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题及答案

这是一份湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C．若事件、相互独立，则
D．若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
6．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
二、多选题
9．设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
11．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（ ）
A．满足平面的点的轨迹为线段
B．若，则动点的轨迹长度为
C．直线与直线所成角的范围为
D．满足的点的轨迹长度为
三、填空题
12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米．
13．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
(1)求证：平面
(2)求二面角的正弦值．
16．用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则
(1)在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；
(2)对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为，求的分布列与期望.
17．已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
18．已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
19．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
参考答案：
1．D
【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.
2．B
【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，结合等差数列的基本量的运算，求得和，结合，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出极值点.
【详解】函数的定义域为，且，
所以当时，当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
即极小值点为，极大值点为.
故选：D
5．D
【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即为，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
6．C
【分析】分类讨论并利用诱导公式对进行化简，再利用同角三角函数关系式、倍角公式的逆用求得.
【详解】设
①时，，
②时，，
③时，，
此时
④时，，
此时
综合①②③④，可以排除、,
，
所以，
故选：C.
7．A
【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可.
【详解】因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
又因为，
且，
所以，所以，所以；
综上所述，.
故选：A.
8．B
【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．
【详解】因为，、，在圆上，，
因为，则是等腰直角三角形，
表示、到直线的距离之和的倍，
原点到直线的距离为，如图所示：
，，是的中点，作于，
且，，，
，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，
又，故的最大值为
的最大值为．
故选：B．
9．BCD
【分析】根据虚根成对原理可得，再由韦达定理求出、，最后计算模即可.
【详解】因为，是关于的方程的两根，其中，且，
所以，
所以，所以，
，所以，
则，故A错误，B正确，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.
【详解】令，则，所以，
令，则，，故A错误；
要证为奇函数，只需证，即，
令，则，，
令，则，所以成立，故B正确；
令，则，，所以为偶函数，由B可知， ，所以，则有，故C正确；
由C可知，又为偶函数，所以，则周期为2，，，所以，故D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：（1）若为奇函数，则满足，若为偶函数，则满足；（2）若为周期函数，且周期为，则满足；（3）若关于点对称，且关于直线对称，则为周期函数，周期为.
11．AD
【分析】利用正方体的特值构造面面平行可判定A，利用圆的定义与弧长公式可判定B，设P坐标，利用正切函数的单调性计算判定C，利用线面垂直及勾股定理可判定D.
【详解】对于A，如图所示，取棱的中点分别为，
连接，
根据正方体的特征易知，
则共面，且平面，平面，
又平面且相交于，故平面平面，
所以满足平面的点的轨迹为线段，
故A正确；
对于B，设M到上底面的投影为N，易知，而，所以，
即P在以N为圆心，半径为2的圆上，
且P在正方形内，如图所示，即上，易知，所以的长度为，
故B错误；
对于C，
如图所示建立空间直角坐标系，取的中点Q，连接，作，
设，则，，
易知直线与直线所成角为，
显然当P为的中点时，此时，
当时，，
易知，
若最小，则需，此时，故C错误；
对于D，取，
可知，即共面，
在底面正方形中易知，则，
结合正方体的性质可知底面，底面，
所以，
而平面，
所以平面，故P在线段上运动，
易知，故D正确.
故选：AD
12．
【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据的长，可求解.
【详解】中，，，，
中，，，，
因为米，所以，
解得：
故答案为：
13．①②④
【分析】①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”；
②，其中，，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③，即，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为，，且，
所以切线的斜率，解得：，
则，故，
化简得：，无解，所以③没有“自公切线”.
④，
当，则，当，则，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
14．
【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得.
【详解】设点，而，则，
由，得，即，
因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点，
由椭圆的几何性质知，即，亦即，
整理得，即，所以椭圆离心率，
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求夹角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：因为底面，平面
所以，
因为四边形是矩形，所以，
又因为、平面，，
所以平面，又平面，
所以，
又因为，是的中点，所以平面，
所以平面，
又平面，所以，
由已知得，且平面，
所以平面.
（2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由知平面，所以为平面的一个法向量，
又，，设为平面的一个法向量，
则由得取，
则,，
设二面角的大小为，
则
所以二面角的正弦值为.
16．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分别求出数字1，3相邻时的六位数个数以及数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）确定的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望.
【详解】（1）设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，
则数字1，3相邻时的六位数有个，
数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数为，
则；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，
因为3个偶数中间共有2个空隙．由题意知“”表示3个偶数相邻，
则，
“”表示3个偶数中间只插入了1个奇数，则，
“”表示3个偶数中间共插入了2个奇数，可分为两种情形：和类型，
则；
“”表示3个偶数中间共插入了3个奇数，可分为两种情形：和类型，
则，
所以的分布列为
的期望为.
17．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由，可得为的一个根，
所以有两个不同于的实根，令，利用导数说明函数的单调性，从而得到当时且，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
则，令得或
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于的实根，
令，则，
①当时，，故在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，；
所以若要满足题意，只需且，
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，由题意直接列方程,化简即可求解.
（2）（方法一）设，，，联立方程求得，，求得直线的方程，进而求得结果；（方法二）设，由及三点共线得；，及，均在曲线上，化简整理可得，设与曲线联立，利用韦达定理可得，进而求得结果；（方法三）设，，，
易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为，由及三点共线，及，在曲线上，化简可得，，进而求得结果.
【详解】（1）设，则，
由 整理得
（2）证明：（方法一）设，，，
则 即
联立与曲线的方程
得且
解得（舍去）或
将代入 得
所以，其中
同理，可解得，其中
当时，即时，
此时，所以此时直线的方程为；
当时，
直线的方程为
整理得，所以直线过定点
（方法二）设，
则由及三点共线得；
将上面两式相除，再平方可得：①
因为，均在曲线上，
故满足；②
将②代入①可得
整理可得③
当直线的斜率存在时，设
将直线的方程代入曲线得
且
由韦达定理得，
将上式代入③式可得 解得（舍去）或，
故直线的方程为
当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为，
所以直线过定点
（方法三）设，，，
易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为
由及三点共线得
；
由上式可得，即
将，代入可得①
因为，为曲线上的点，
由（1）可知，，所以，即
将，代入可得②
①②式相减可得
又易知，所以，所以直线的方程为，
故直线过定点

19．(1)1、2、3、18；
(2)50不是“佳幂数”，理由见解析
(3)（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可；
（2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可；
（3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可.
【详解】（1）因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意；
②建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到原问题中.
0
1
2
3