2024年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中中考数学适应性试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年福建省福州市鼓楼区闽江学院附中中考数学适应性试卷（4月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数π4，−227，2.02002，38中，无理数的是( )
A. π4B. −227C. 2.02002D. 38
2.数据214600000用科学记数法可表示为( )
A. 2146×105B. 214.6×106C. 2.146×107D. 2.146×108
3.下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
4.如图所示的几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
5.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
6.下列命题中真命题是( )
A. 4的平方根是2B. 数据2，0，3，2，3的方差是65
C. 数据3，5，4，1，−2的中位数是4D. 对角线相等的四边形是矩形
7.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是( )
A. 3B. 2.5C. 2D. 1
8.已知2x+4=m，用含m的代数式表示2x正确的是( )
A. m16B. m8C. m−4D. 4m
9.老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线.在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是( )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行C. Ⅰ、Ⅱ都可行D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
10.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是(−3,0)，(−1,0)，(3,0)，对此，小华认为：①当y>0时，−3−3时，y有最小值；③点P(m,−m−1)在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：2−1+cs60°=______．
12.因式分解：x2−2xy= ______．
13.某扇形的半径为10厘米，其弧长为12π厘米，则此扇形的面积是______平方厘米．
14.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB=66°，则∠ACD= ______度.
15.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是______．
16.如图，正方形ABCD中，AB=4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2−6x+5=0(两种方法)．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)计算：( 12−3 13)÷ 3；
(2)a2−4a+2+2．
19.(本小题8分)
如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
(1)求证：AC=AD．
(2)用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F.(不写作法，保留作图痕迹)
20.(本小题8分)
某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分(比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分).学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为______；(填“合格”、“良好”或“优秀”)
(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
21.(本小题8分)
一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同.将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF=AD；
(2)若CF=3，BD=5，求AC的长．
23.(本小题10分)
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度).已知AD=BC，DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6)
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C(2,3)，D(−1,3).抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)与x轴交于点E(−2,0)和点F．
(1)如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
(2)如图2，在(1)的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
(3)若抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
25.(本小题14分)
在矩形ABCD中，AB=2，AD=2 3，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；
(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：38=2，
−227，2.02002，38是有理数
π4是无理数．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】D
【解析】解：214600000=2.146×108．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形；不符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形；不符合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形；符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练地掌握定义并能够区分轴对称图形和中心对称图形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：从几何体的左面看，是上下两个对齐的矩形．
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】B
【解析】解：根据多边形的内角和可得：(n−2)180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选：B．
利用n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，结合方程即可求出答案．
本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式．
6.【答案】B
【解析】解：∵4的平方根是±2，
∴选项A不符合题意；
∵(2+0+3+2+3)÷5=2，
∴数据2，0，3，2，3的方差是：15×[(2−2)2+(0−2)2+(3−2)2+(2−2)2+(3−2)2]=65，
∴选项B符合题意；
∵数据3，5，4，1，−2的中位数是3，
∴选项C不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据中位数、方差的含义和求法，矩形的判定，以及平方根的含义和求法，逐项判断即可．
此题主要考查了中位数、方差的含义和求法，矩形的判定，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查垂径定理有关知识，根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【解答】
解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5−x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AD=12AB=4，
由勾股定理可知：52=42+(5−x)2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键.直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵2x+4=m，
∴用含m的代数式表示2x正确的是：2x×24=m，
则2x=m16．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：方案Ⅰ：∵CD2+CE2=302+402=502=DE2，
∴△CDE是直角三角形；
故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：由作图得：Q是SR的中点，且CQ=0.5AS，
∴∠ACS=90°，
∴△CDE是直角三角形，
故选：C．
两个方案分别根据“勾股定理的逆定理”和“如果三角形一边上我中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”进行的作图，故都正确．
本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
①②通过观察函数图象判断即可；
③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
【解答】
解：①当y>0时，−33，
∴①不正确．
②由图象可知，当x>−3时，y有最小值，
∴②正确．
③令x=m，y=−m−1，
∴y=−x−1，
∴点P(m,−m−1)在直线y=−x−1上．
y=−x−1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为(−1,0)的点过原点；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为(−3,0)的点过原点；
∴④正确．
综上，正确的结论有②④共2个．
故选：C．
11.【答案】1
【解析】解：原式=12+12=1．
故答案为：1．
原式利用负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】x(x−2y)
【解析】解：原式=x(x−2y)．
故答案为：x(x−2y)．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
13.【答案】60π
【解析】解：∵扇形的半径为10厘米，弧长为12π厘米，
∴扇形的面积=12×12π×10=60π(平方厘米)．
故答案为：60π．
扇形面积计算公式：S扇形=12lr(其中l为扇形的弧长，r是扇形的半径)，由此即可计算．
本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
14.【答案】24
【解析】解：如图，连接OD，
∵OA=OD，∠DAB=66°，
∴∠ODA=∠OAD=66°，
∴∠AOD=180°−66°−66°=48°，
∴∠ACD=12∠AOD=24°，
故答案为：24．
连接OD，结合已知条件易得∠AOD的度数，然后利用圆周角定理即可求得答案．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠AOD的度数是解题的关键．
15.【答案】14
【解析】解：从2，3，4，5中任取3个不同的数，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共4种，
其中只有(3,4,5)为勾股数，
所以这3个数构成一组勾股数的概率=14，
故答案为：14．
一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】2 13−2
【解析】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC=90°，
∴∠BQC=90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD=DE，∠ADP=∠EDP，DP=DP，
∴△ADP≌△EDP(SAS)，
∴AP=EP，
∴AP+PQ=EP+PQ≥EQ≥EO−ON= OF2+EF2−2= 62+42−2=2 13−2，
∴AP+PQ的最小值为2 13−2，
故答案为：2 13−2．
AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．
本题考查了将军饮马、隐圆、点圆最值问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．
17.【答案】解：方法一：(x−5)(x−1)=0，
x−5=0或x−1=0，
所以x1=5，x2=1；
方法二：x2−6x=−5，
x2−6x+9=4，
(x−3)2=4，
x−3=±2，
所以x1=5，x2=1．
【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法和配方法解方程．
18.【答案】解：(1)原式=(2 3− 3)÷ 3
= 3÷ 3
=1；
(2)原式=(a+2)(a−2)a+2+2
=a−2+2
=a．
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可
(2)根据分式的加减法运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算和分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD；
(2)解：如图AF即为所求．
【解析】(1)证明△ABC≌△AED(SAS)，即可解决问题；
(2)根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20.【答案】解：(1)合格；
(2)培训前的平均分为：(25×2+5×6+2×8)÷32=3(分)，
培调后的平均分为：(8×2+16×6+8×8)÷32=5.5(分)，
5.5−3=2.5(分)，
培训后比培训前的平均分提高了2.5分；
(3)培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有320×16+832=240(名)，
答：培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是240名．
【解析】解：(1)由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格，
故答案为：合格；
(2)(3)见答案．
(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；
(2)根据加权平均数的计算公式计算即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图、中位数、加权平均数的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21.【答案】解：画树状图如下：

一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，
∴P(2次都摸到红球)=26=13．
【解析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出2次都摸到红球的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OE，

∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC/​/OE，
∴∠AFD=∠OED=∠ODE，
∴AF=AD；
(2)解：如图，

∵AC/​/OE，
∴△OBE∽△ABC，
∴OBAB=OEAC，
设⊙O的半径为r，
∴OB=BD+OD=BD+r，AB=BD+AD=BD+AF=BD+AC+CF，
∵CF=3，BD=5，
∴OB=5+r，AB=5+AC+3=AC+8，
∴5+rAC+8=rAC，
∴r=58AC，
∵AC/​/OE，OA=OD，
∴OE是△ADF的中位线，
∴OE=r=12AF=12(AC+CF)=12(AC+3)=12AC+32，
∴58AC=12AC+32，
∴AC=12．
【解析】(1)由切线的性质可得OE⊥BC，可证AC/​/OE，可得∠AFD=∠OED=∠ODE，根据等腰三角形的判定可得结论；
(2)根据题意推出△OBE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出OBAB=OEAC，设⊙O的半径为r，则OB=5+r，AB=AC+8，进而求出r=58AC，根据三角形中位线的判定与性质求出OE=r=12AC+32，则58AC=12AC+32，据此求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形相似是解题的关键．
23.【答案】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，

∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC//AH，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ADC=∠GAE=60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH=208cm，
∴DK=288−208=80(cm)，
在Rt△CDK中，CD=DKcs60∘=8012=160(cm)，
如图，当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，

在Rt△CDQ中，CD=160cm，
∴DQ=CD⋅cs54°≈160×0.6=96(cm)，
∴96−80=16(cm)，
∴点C离地面的高度升高约16cm．
【解析】当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC//AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB/​/CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC=∠GAE=60°，再根据已知可得DK=80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE=54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−2ax+c过点C(2,3)，E(−2,0)，
得3=4a−4a+c0=4a+4a+c，
解得a=−38c=3，
∴抛物线表达式为y=−38x2+34x+3，
当y=0时，−38x2+34x+3=0，
解得x1=−2(舍去)，x2=4，
∴F(4,0)；
(2)设直线CE的表达式为y=kx+b，
∵直线过点C(2,3)，E(−2,0)，
得3=2k+b0=−2k+b，
解得k=34b=32，
∴直线CE的表达式为y=34x+32，
∵点Q在抛物线y=−38x2+34x+3上，
∴设点Q(t,−38t2+34t+3)，
∵C(2,3)，F(4,0)，且PQ由CF平移得到，
∴点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点P(t−2,−38t2+34t+6)，
如图，
将P(t−2,−38t2+34t+6)代入y=34x+32，
解得t1=−4，t2=4 (舍去)，
∴Q点坐标为(−4,−6)；
(3)将E(−2,0)代入y=ax2−2ax+c得c=−8a，
∴y=ax2−2ax−8a=a(x−1)2−9a，
∴顶点坐标为(1,−9a)，
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0<−9a<3，
解得−13②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，
a+2a−8a<3a×22−2a×2−8a>3,
解得−35综上所述，a的取值范围为−13【解析】(1)抛物线y=ax2−2ax+c过点C(2,3)，E(−2,0)，代入即可求得解析式，令y=0即可求得F点的坐标；
(2)设直线CE的表达式为y=kx+b，直线过点C(2,3)，E(−2,0)，代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点P(t−2,−38t2+34t+6)，代入即可；
(3)求出顶点坐标，再分情况解答即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵矩形ABCD中，AB=2，AD=2 3，
∴∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=2 3，
∴tan∠BDC=BCDC= 3，
∴∠BDC=60°，
∵∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°，
∴∠EAG−∠EAD=∠BAD−∠EAD，
即∠DAG=∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴DGBE=ADAB= 3；
(2)如图2，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°，AE=GF，
∴∠BAE=∠DAG=∠CGF，∠ABE=∠GMF=90°，
在△ABE和△GMF中
∠BAE=∠MGF∠ABE=∠GMFAE=GF
∴△ABE≌△GMF(AAS)，
∴BE=MF，AB=GM=2，
∴∠MDF=∠BDC=60°，FM⊥CG，
∴tan∠MDF=tan60°=MFMD= 3，
∴MF= 3MD，
设DM=x，则BE=MF= 3x，
∴DG=GM+MD=2+x，
由(1)可知：DGBE= 3，
∴2+x 3x= 3，
解得x=1，
∴BE= 3x= 3；
(3)如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP′，连接PP′，
矩形ABCD中，AD=BC=2 3，AB=2，
∴tan∠ACB=ABBC= 33，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，∠AEC=120°，
∴∠ACG=∠GAC=90°−30°=60°，
∴△AGC是等边三角形，AG=AC=4，
∴PE=EF=AG=4，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP′，
∴PA=P′C，∠PEP′=120°，EP=EP′=4，
∴PP′= 3PE=4 3，
∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，
此时为PA+PC=PP′=4 3．
【解析】(1)由锐角三角函数可求∠BDC=60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得DGBE=ADAB= 3；
(2)由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE=MF，AB=GM=2，由锐角三角函数可求MF=BE= 3x，DG=2+x，利用(1)的结论可求解；
(3)通过证明△AGC是等边三角形，可得PE=EF=AG=4，由旋转的性质可得PA=P′C，∠PEP′=120°，EP=EP′=4，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，即可求解．
本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．方案Ⅰ
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E．
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
方案Ⅱ
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．
③将RO延长，在延长线上截取线段OS=MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．