广西桂林市2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份广西桂林市2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有( )
A.8种B.15种C.种D.种
2．双曲线E：的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．下列四对向量中，垂直的是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．的展开式中，常数项为( )
A.B.672C.D.144
5．对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )
A.B.C.D.
6．在四面体中，，，则( )
A.B.
C.D.
7．从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有( )
A.252种B.420种C.672种D.10080种
8．已知直线：与直线：交于点，则的最大值为( )
A.4B.8C.32D.64
二、多项选择题
9．已知随机变量，且，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.若，则D.若，则
10．已知直线l：，O为坐标原点，则( )
A.直线l的倾斜角为
B.若O到直线l的距离为1，则
C.过O且与直线l平行的直线方程为
D.过O且与直线l垂直的直线方程为
11．若曲线与曲线有6个公共点，则k的值可能是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．直线：，：，若，则_____________.
13．已知抛物线的焦点为F，是E上一点，且，则______.
14．被9除的余数为_____________________.
四、解答题
15．已知圆C上有两个点，，且AB为直径.
（1）求圆C的方程；
（2）已知，求过点P且与圆C相切的直线方程.
16．下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.
（1）完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关？
（2）从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为X，求X的分布列与期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联.
17．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，，，E为棱PD的中点.
（1）证明：平面PAB.
（2）求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.
18．已知椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的方程.
（2）设P是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，B是椭圆C的上顶点，直线与y轴相交于点M，直线与x轴相交于点N.记的面积为，的面积为.证明：为定值.
19．某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
（2）记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列.
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
参考答案
1．答案：B
解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意得，，
则其渐近线方程为，
即，
故选：A.
3．答案：B
解析：对A，因为，故两向量不垂直，故A错误；
对B，因为，故两向量垂直，故B正确；
对C，因为，故两向量不垂直，故C错误；
对D，因为，故两向量不垂直，故D错误；
故选：B.
4．答案：A
解析：展开式的通项是，，1，2，…，9，
令，解得，
所以常数项为，
故选：A.
5．答案：C
解析：由散点图可知第1个图表示的正相关，
故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故选：C.
6．答案：C
解析：如图所示，四面体中，满足，，
可得
.
故选：C.
7．答案：C
解析：当甲和乙其中一人被选中的情况数共有种
当甲或乙两人均未被选中的情况数共有种不同挑选方法；
则甲、乙至多有1人被选中的选法共有种不同挑选方法，
故选：C.
8．答案：D
解析：由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点P在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对A，由题意得，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，则，故C错误；
对D，因为，则，故D正确；
故选：ABD.
10．答案：CD
解析：直线l可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故A错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故B错误；
设与直线l平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故C正确；
设与直线l垂直的直线方程为，
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故D正确.
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：当时，，当时，，
所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的.
过定点.如图，
由得，
由，得.
由得，由，得.
因为与有6个公共点，所以，由图可知，k的取值范围为.
故选：ACD.
12．答案：2
解析：因为，所以，解得或（舍），
.
故答案为：2.
13．答案：6
解析：由题可知.
故答案为：6.
14．答案：4
解析：，
，
故被9除的余数为4.
故答案为：4.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为圆C的直径为AB，故其圆心为，
其半径为，
故圆C的方程为：.
（2）因为，故P在圆C上，连接PC，
而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，
故所求切线的方程为：.
16．答案：（1）有关
（2）分布列见解析，数学期望为2
解析：（1）
，
的把握判断体验感评价与性别有关.
（2）评价高的居民男女比例为，则6人中，男居民4人，女居民2人，
则X的可能取值为1，2，3，
，，，
故随机变量X的分布列为：
.
17、
（1）答案：证明见解析
解析：（1）证明：，
，即.
平面平面ABCD，平面平面，
平面PAB.
（2）答案：
解析：如图，分别取AB，BC的中点O，F，连接OP，OF.
，平面PAB.
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设是平面PAC的法向量，则，
令，得，则，
故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题可知，，解得，
故椭圆C的方程为.
（2）证明：设，则直线的方程为，令，得.
直线的方程为，令，得.
，，
.
由，得，
则.
故为定值.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率
解析：（1）设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得，，，，
.
（2）设表示第n天中午选择冰糖雪梨汤，则，，
根据题意得，，
由全概率公式得，即，
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）得，.
由题意，只需，即，
则，即.
显然n必为奇数，偶数不成立.
当，3，5，7，9时，有.
当时，显然成立.
当时，，所以当时不成立.
因为单调递减，所以，7，9也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
评价
居民
评价高
评价一般
总计
男居民
30
女居民
35
总计
45
100
评价
居民
评价高
评价一般
总计
男居民
30
20
50
女居民
15
35
50
总计
45
55
100
X
1
2
3
P