汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数z满足,则( )
A.3B.1C.D.
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,,则等于( )
A.B.C.D.
3．若,且为第三象限角,则等于( )
4．已知向量,,若向量与向量平行,则x的值为( )
A.-3B.0C.D.
5．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,,,,则( )
A.B.C.或D.无解
6．已知向量,满足, 且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
7．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高为( )米.
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数（i是虚数单位）,则下列结论正确的是( )
A.复数的虚部等于B.对应复平面内的点在第三象限
C.D.若是实数,是纯虚数,则
10．已知函数,则下列命题正确的是( )
A.的最小正周期为;
B.函数的图象关于对称;
C.在区间上单调递增;
D.将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合.
11．若正方形ABCD,O为ABCD所在平面内一点,且,x,则下列说法正确的是( )
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若,则O在直线BD上
C.若,,则
D.若,则
三、双空题
12．已知函数,则_______________;若在上恒成立,则整数t的最小值为_________________.
四、填空题
13．若复数：,则_________________.
14．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积."若把以上这段文字写成公式,即.现有满足,且的面积.给出下列四个结论:①周长为;②三个内角A,C,B满足关系;③外接圆半径为;④中线CD的长为,其中,所有正确结论的序号是____________.
五、解答题
15．已知向量,满足,,.
(1)求向量,的夹角;
(2)求向量与的夹角的余弦值.
16．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,.
(1)求角B;
(2)若,求边上的角平分线长;
(3)若为锐角三角形,求边上的中线的取值范围.
17．已知在中,N是边AB的中点,且,设AM与CN交于点P.记,.
(1)用,表示向量,;
(2)若,且,求的余弦值.
18．设锐角三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且.
(1)求a的值;
(2)若D为的延长线上一点,且,求三角形周长的取值范围.
19．已知函数,把函数的图像先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位,得到函数的图像.
(1)求的单调递增区间及对称轴方程;
(2)当时,若方程恰好有两个不同的根,,求m的取值范围及的值.
参考答案
1．答案：D
解析：, ,
, ,
,.
故选：D.
2．答案：B
解析：在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,,
由正弦定理得：,即,
解得：,
又由,
故,
故选：B.
3．答案：B
解析：由得,
所以,即,由于为第三象限角,所以,故,
故选：B.
4．答案：A
解析：向量,,
,
又向量与向量平行,
,解得,
故选：A.
5．答案：A
解析：由正弦定理得.
或,,（舍）.
故.
故选：A.
6．答案：C
解析：根据夹角公式,所以夹角是.
7．答案：B
解析：因函数在上单调递减,又,
则,即;
注意到,.则.
构造函数,则,
令在上单调递增,
又,,
则,即.
综上,.
故选：B.
8．答案：A
解析：在三角形中：，
由正弦定理得，，
在中，.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：由题意,复数,
对于A项：,所以复数的虚部等于-2,所以A项错误;
对于B项：,对应的点在复平面的第三象限,所以B项正确;
对于C项：,所以C项正确;
对于D项：因为是纯虚数且是实数,即为纯虚数,所以,解得,
所以D项正确.
故选：BCD.
10．答案：ABC
解析：对于A,函数,
所以的最小正周期为,A选项正确;
对于B,当时,,是函数最小值,函数的图象关于对称,B选项正确;
对于C,当时,,是余弦函数的单调递增区间,
则此时为增函数,C选项正确;
对于D,将函数的图象向左平移个单位长度后,
得到函数解析式为,D选项不正确.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：A：由题意,又,x,以为基底的坐标系中,
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,对;
B：由向量共线的推论知：,则O在直线BD上,对;
C：由题设,则,
所以,错;
D：由,则,
若E为BC中点,则,即且,如下图示,
所以,对.
故选：ABD.
12．答案：;12
解析：因为,所以,
因为,,所以.
图象如图：
,,,
时,,
时,,或,
时,,
所以时,恒成立,
整数t的最小值为12.
故答案为：;12.
13．答案：2
解析：因为,,,,且,
所以
,
所以.
故答案为：2.
14．答案：①②④
解析：因为,根据正弦定理可得：,
可设：,,.
代入得.
所以的周长：,故①正确;
有余弦定理：,所以,故②正确;
由（R为三角形外接圆半径）得：,故③错误;
因为且,,,
所以,故④正确.
故答案为：①②④.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）由,得,即,
故,则,
而,所以;
（2）,
,
所以.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）由及正弦定理得,
即,
即,
所以,因为,所以.
因为,所以.
（2）由及余弦定理得,又,所以,
由得,
所以,所以,解得.
（3）因为E的的中点,所以,
则,
由正弦定理得
,
因为为锐角三角形,所以,所以,
所以,所以,所以,
所以,所以,
即边上的中线的取值范围为.
17．答案：(1),
(2)
解析：（1）,
,
.
（2）因为N,P,C三点共线,所以得,
,得,
所以,
所以,即的余弦值为.
18．答案：(1)1
(2)
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,
则,整理得,
由正弦定理可得,即,
且,所以.
（2）在中,由题意可知：,,
可知,
由余弦定理可得,即,
在中,由正弦定理,
可得,
因为且为锐角三角形,则,解得,
则,可得,所以,
且三角形周长为,
所以三角形周长的取值范围为.
19．答案：(1)单调递增区间为,,对称轴方程为,.
(2)答案见解析
解析：（1）由题意可得
,
令,,解得,,
令,,解得,,
所以的单调递增区间为,,对称轴方程为,.
（2）根据题意及（1）中结论可得,
当时,,
令得,令得,
所以当时,单调递增,当时,单调递减,时,单调递增,
且,,,,
大致图像如图所示,
方程恰好有两个不同的根,,
所以m的取值范围为,
又因为的对称轴为和,
所以当时,当时.