天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．已知a,，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．如图是函数的部分图象，则的解析式可能为( )
A.B.
C.D.
4．已知函数，若，，则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．已知等差数列的前n项和为，且，则( )
A.6B.9C.11D.14
6．下列说法正确的是( )
A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17;
B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05;
C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0;
D.若随机变量,满足，则.
7．如图是函数的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B,C是图象与x轴的交点，且,的面积等于，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称;
B.函数的最小正周期为;
C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到;
D.函数的单调递增区间是,
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐簿，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为( )
A.B.C.D.
9．已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长与抛物线相交于点N，若，则双曲线的离心率等于( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．已知集合，则_________.
11．在的展开式中，的系数为_____________.
12．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为____________.
13．己知函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围为____________.
三、双空题
14．甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为_________;掷一枚质地均匀的骰子，如果点数大于等于2，就从甲箱子重随机抽出1个球;如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为_____________.
15．在平行四边形中，E是线段CD的中点，点F满足，若设，，则可用,表示为_________;点M是线段上一点，且，若，则的最大值为_________.
四、解答题
16．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.
（1）求角B的大小;
（2）若，,求的面积;
（3）若，求.
17．如图所示，在三棱柱中，平面，,,D是棱的中点，M为棱中点，P是的延长线与的延长线的交点.
（1）求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值;
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，
（1）求椭圆E的方程;
（2）点A,B,P是椭圆E上的三个不同点，线段交x轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线,分别交x轴于点M,N两点，求的值.
19．若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“G型数列”.
（1）若数列满足，,求,的值并证明：数列是“G型数列”;
（2）若数列的各项均为正整数，且为“G型数列”，记，数列为等比数列，公比q为正整数，当不是“G型数列”时，
（i）求数列的通项公式;
（ii）求证：.
20．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
（1）求曲线在处的切线斜率;
（2）若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围：
（3）（i）证明：当时，;
（ii）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：D
解析：
10．答案：
解析：
11．答案：-189
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由正弦定理得：
，
显然则，
又，故;
（2），
由余弦定理可得，整理可得，
又，解得，
;
（3）由正弦定理得：，则，
，即，则，故A为锐角，
，
，1
，
17．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）【方法1】在三棱柱中，连接，
连接，由，D是棱的中点，得D是的中点，
由为平行四边形，得E为线段中点，于是，而平面,平面，
所以平面.
【方法2】在三棱柱中，平面，
，则直线,,两两垂直，
以点为原点，直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
由，得，,,
,,,,
设平面的法向量，则,
则，令，得，
因为，所以
又因为平面，所以平面.
（2）由（1）平面的法向量，又，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的一个法向量，，
则令，的
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
18．答案：（1）
（2）4
解析：（1）设制圆的半焦距c，由题意知，解得，
椭圆的方程.
（2）分析得A,B两点关于x轴对称，由题意直线斜率k存在且不为0，
并且纵截距不为0
设直线，,
，化简得，
设，,
直线，
令,
,
所以.
19．答案：（1）数列是“G型数列”
（2）（i）（ii）见解析
解析：（1）令，则，，
令，则;
由①，当时，②，
由①②得，当时，，
所以数列和数列是等比数列.
因为，，所以，
所以，，因此，
从而，所以数列是“G型数列”.
（2）（i）因为数列的各项均为正整数，且为“G型数列”，
所以，所以，因此数列递增.又，
所以，因此递增，所以公比.
又不是“G型数列”，所以存在，使得，所以,
又公比为正整数，所以，又，
所以，则.
（ii），
因为，所以，
所以，
令，当时，，
当时，
.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），则，
所以所以在处的切线斜率为.
（2）令，
则
，
下面证明：对任意，恒成立
先证明：对任意，，
证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故，故，
继续证明：对任意，，
证明如下：令，则，
因此在上单调递增;所以，
故，
当时，对，都有，函数在上单调递增，
则，解得; 8分
当时，对，都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数a的取值范围是.
（2）（i），
令，则
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立;
（ii）下面证明：当时，成立，
令，则
由（2）解答过程，对任意成立，所以
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立
令,且，可得，
即，
由题意，
令,且，可得，
因为所以,
由①当时，，所以令,且，可得
所以,
由（2）解答过程，对任意,成立
令且，可得,
所以
又且，所以，
所以
所以可得
即可得,.