2022-2023学年河南省开封市新世纪高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年河南省开封市新世纪高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合(∁UA)∩B=( )
A. {x|02.若i是虚数单位，复数z满足(1−i)z=1，则|2z−3|=( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
3.若直线l1：x−2y+1=0与直线l2：mx+y−3=0互相垂直，则实数m的值为( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
4.设函数f(x)=x3+(a−2)x2+2x，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为( )
A. y=5x−2B. y=x+2C. y=−5x+8D. y=−x+4
5.某班级有6名学生参加了演讲社团，其中有4名男同学A1，A2，A3，A4，2名女同学B1，B2，现从这6名同学中随机选取2人参加学校演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为( )
A. 815B. 715C. 25D. 13
6.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，|F1|=1N，|F2|= 2N，F1与F2的夹角为45°，则F3大小为( )
A. 3NB. 4NC. 5ND. 6N
7.设函数f(x)=cs(2x−2π3)+sin(2x−3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.若p：|x|≤2，q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A. {a|a≥2}B. {a|a≤2}C. {a|a≥−2}D. {a|a≤−2}
9.设a，b∈R，数列{an}中a 1=a，an+1=an2+b，n∈N*，则
( )
A. 当b=12时，a 10>10B. 当b=14时，a 10>10
C. 当b=−2时，a 10>10D. 当b=−4时，a 10>10
10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q，若OP//QF2(O是坐标原点)，则此双曲线的离心率等于( )
A. 2B. 5C. 3D. 10
11.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca+b+ab+c=1，则B的大小为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
12.已知球O是三棱锥P−ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=1，CP= 2，点D是PB的中点，且CD= 72，则球O的表面积为( )
A. 7π3B. 7π6C. 7 21π27D. 7 21π54
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
14.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
15.已知tanα=3，则sin2α−sin2α1−cs2α的值为______．
16.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a5+a7−a62=0，则S11的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a=5，c=6，sinB=35．
(Ⅰ)求b和sinA的值；
(Ⅱ)求sin(2A+π4)的值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
(Ⅰ)证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(Ⅱ)证明：1a1+1a2+…+1an<32．
19.(本小题12分)
某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；
(Ⅱ)若已从年龄在[35,45)，[45,55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
21.(本小题12分)
设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 53，|AB|= 13．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y=kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+x−xlnx(a∈R)
(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1≠x2)，证明：x1⋅x2>e2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}
∴CUA={x|x<2}
∵B={x|0≤x<5}
∴(CUA)∩B={x|0≤x<2}
故选B
根据全集U=R，集合A={x|x≥2}，易知CUA={x|x<2}再根据交集定义即可求解
本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设z=a+bi，
则(1−i)z=(1−i)(a+bi)=1，
∴(a+b)+(b−a)i=1，
∴a+b=1，a−b=0，
∴a=b=12，
则|2z−3|=|2(12+12i)−3|=|−2+i|= 5，
故选：B．
设z=a+bi，得到(a+b)+(b−a)i=1，根据对应的系数相等得到a+b=1，a−b=0，求出a，b的值，求出复数的模即可．
本题考查了复数求模问题，熟练掌握复数的运算是解题的关键，本题是一道基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵直线l1：x−2y+1=0与直线l2：mx+y−3=0互相垂直，
所以1×m+(−2)×1=0，得m=2．
故选：D．
由两直线垂直与系数的关系列式求解．
本题考查直线的一般方程与直线的垂直关系，是基础的计算题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x3+(a−2)x2+2x，若f(x)为奇函数，
可得a=2，所以函数f(x)=x3+2x，可得f′(x)=3x2+2，f(1)=3；
曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线的斜率为：5，
则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为：y−3=5(x−1).即y=5x−2．
故选：A．
利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
5.【答案】A
【解析】解：从这6名同学中随机选取2人参加学校演讲比赛，所有可能为C62=15种，
恰好选中1名男生和1名女生的可能为C41C21=8种，
所以恰好选中1名男生和1名女生的的概率为815．
故选：A．
利用排列组合方法即可得出所有可能，再根据古典概率模型，即可得出答案．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得F3=−(F1+F2)，
所以|F3|=|−(F1+F2)|= F12+F22+2F1⋅F2= 1+2+2×1× 2cs45°= 5．
故选：C．
根据平衡状态，求得F3=−(F1+F2)，结合向量的数量积求解即可．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，向量长度的求法，是基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角恒等变形，函数的图象的平移变换，属于中档题．
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换以及三角函数的性质求出结果．
【解答】
解：函数f(x)=cs(2x−2π3)+sin(2x−3π2)
=−12cs2x+ 32sin2x+cs2x
=12cs2x+ 32sin2x
=sin(2x+π6)，
将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x+2φ+π6)的图象，
由于g(x)为偶函数，
故2φ+π6=kπ+π2(k∈Z)，
解得：φ=kπ2+π6(k∈Z)，
又φ>0，
所以φ的最小值为π6，此时k=0．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：p：∵|x|≤2，∴−2≤x≤2，
∵p是q的充分不必要条件，
∴{x|−2≤x≤2}⊆{x|x≤a}，
∴a≥2．
故选：A．
求出命题p，由p是q的充分不必要条件，得{x|−2≤x≤2}⊆{x|x≤a}，即可求得a的取值范围．
本题考查了充分必要条件与集合的关系，绝对值不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，属于难题．
对于A，证明{an}递增，可知n≥4时，an+1an>32，可证明a10>10判断A选项，对于B，取a1=12，∴a2=12,…,an=12<10判断B选项，对于C，取a1=2，∴a2=2，…，an=2<10判断C选项，对于D，取a1=1+ 172，∴a2=1+ 172，…，an=1+ 172<10判断D选项；
【解答】
解：对于A，a2=a2+12≥12，a3=(a2+12)2+12≥34，
a4=(a4+a2+34)2+12≥916+12=1716>1，
又因an+1−an=a2n+12−an=an−122+14>0，所以{an}递增，
当n≥4时，an+1an=an+12an>1+12=32，
∴a5a4>32a6a5>32⋅⋅⋅a10a9>32,∴a10a4>(32)6,∴a10>72964×1716>10.故A正确．
对于B，令λ2−λ+14=0，得λ=12，
取a1=12，∴a2=12,…,an=12<10，
∴当b=14时，a10<10，故B错误；
对于C，令λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1，
取a1=2，∴a2=2，…，an=2<10，
∴当b=−2时，a10<10，故C错误；
对于D，令λ2−λ−4=0，得λ=1± 172，
取a1=1+ 172，∴a2=1+ 172，…，an=1+ 172<10，
∴当b=−4时，a10<10，故D错误；
故选：A．
10.【答案】D
【解析】解：过F1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c，
双曲线的渐近线方程为y=±bax，
由OP//QF2，可得Q在第一象限，
由y=x+c和y=bax，解得Q(acb−a,bcb−a)，
QF2的斜率为bcac−bc+ac=b2a−b，
可得−ba=b2a−b，可得b=3a，
则e=ca= 1+b2a2= 10．
故选：D．
设出直线方程y=x+c，联立双曲线的渐近线方程，求得Q的坐标，以及QF2的斜率，由两直线平行斜率相等，可得b=3a，再由离心率公式，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】【分析】
化简已知等式可得c2+a2−b2=ac，由余弦定理可得csB=12，结合范围B∈(0°,180°)，利用特殊角的三角函数值可求B的值．
本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
【解答】
解：∵ca+b+ab+c=1，
∴整理可得：c2+a2−b2=ac，
∴由余弦定理可得：csB=c2+a2−b22ac=ac2ac=12，
∵B∈(0°,180°)，
∴B=60°．
12.【答案】A
【解析】解：由PA=AB=PB=AC=1,CP= 2，得PA⊥AC．
由点D是PB的中点及PA=AB=PB，
易求得AD= 32，又CD= 72，
所以AD⊥AC，
又AD∩AP=A且AD，AP⊂平面PAB，
所以AC⊥平面PAB．
以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，
则球O是该三棱柱的外接球，
球心O到底面△PAB的距离d=12AC=12，
由正弦定理得△PAB的外接圆半径
r=PA2sin60∘=1 3，
所以球O的半径为R= d2+r2= 712，
所以球O的表面积为S=4πR2=7π3．
故选：A．
先证明AC⊥平面PAB，再将三棱锥以△PAB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则直三棱柱的上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，进而求出球的半径，再求出球O的表面积．
本题主要考查了立体几何中线面垂直的证明与运用，同时也考查了锥体外接球的运算，解题的关键是确定外接球的球心，属于中档题．
13.【答案】 52
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用异面直线的平移的应用和解三角形知识的应用求出结果．
【解答】
解：如图所示：
在正方体体ABCD−A1B1C1D1中，连接BE，
所以异面直线AE与CD所成角，即为AE和AB所成的角．
设正方体的棱长为2，由于AB⊥平面BCE，
所以△ABE为直角三角形．
所以BE= 22+12= 5，
所以tan∠BAE=BEAB= 52．
故答案为： 52
14.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得a−λb=(1−3λ,3−4λ)，再由(a−λb)⊥b，可得(a−λb)⋅b=0，即可求解λ的值．
【解答】
解：因为向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则a−λb=(1−3λ,3−4λ)，
又(a−λb)⊥b，
所以(a−λb)⋅b=3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，
解得λ=35．
故答案为：35．
15.【答案】−16
【解析】解：∵已知tanα=3，∴sin2α−sin2α1−cs2α=2sinαcsα−sin2α2sin2α=1tanα−12=13−12=−16，
故答案为：−16．
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
16.【答案】22
【解析】解：正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a5+a7−a62=0，
∴2a6=a62，且a6>0，
解得a6=2，
则S11=112(a1+a11)=11a6=11×2=22．
故答案为：22．
利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，∵a>b，
故由sinB=35，可得csB=45．
由已知及余弦定理，
有b2=a2+c2−2accsB
=25+36−2×5×6×45=13，
∴b= 13．
由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=3 1313．
∴b= 13，sinA=3 1313；
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a∴sin2A=2sinAcsA=1213，cs2A=1−2sin2A=−513．
故sin(2A+π4)=sin2Acsπ4+cs2Asinπ4
=1213× 22−513× 22=7 226．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系，考查倍角公式的应用，属于中档题．
(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得csB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得csA，再由倍角公式求得sin2A，cs2A，展开两角和的正弦得答案．
18.【答案】证明：(Ⅰ)an+1+12an+12=3an+1+12an+12
=3(an+12)an+12=3，
∵a1+12=32≠0，
∴数列{an+12}是以首项为32，公比为3的等比数列；
∴an+12=32×3n−1=3n2，即an=3n−12；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1an=23n−1，
当n≥2时，∵3n−1>3n−3n−1，∴1an=23n−1<23n−3n−1=13n−1，
∴当n=1时，1a1=1<32成立，
当n≥2时，1a1+1a2+…+1an<1+13+132+…+13n−1=1−(13)n1−13=32(1−13n)<32．
∴对n∈N+时，1a1+1a2+…+1an<32．
【解析】本题考查的是数列的递推关系式、等比数列，用放缩法证明不等式，属于较难题．
(Ⅰ)根据等比数列的定义求解；
(Ⅱ)将1an进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
19.【答案】解：(Ⅰ)由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．
估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37(岁)
(Ⅱ)由题意可知抽取的6人中，年龄在[35,45)范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45,55]范围内的人数为2，记为m，n．
从这6人中选取2人，结果共有15种：
(ab)，(ac)，(ad)，(am)，(an)，(bc)，
(bd)，(bm)，(bn)，(cd)，(cm)，(cn)，
(dm)，(dn)，(mn)．
设“这2人在不同年龄组“为事件A．
则事件A所包含的基本事件有8种，故P(A)=815，
所以这2人在不同年龄组的概率为815．
【解析】本题考查频率分布直方图以及古典概型，属于基础题．
(Ⅰ)由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；
(Ⅱ)在[35,45)的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45,55]的人数为2人，记为m，n.列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．
20.【答案】证明：(1)∠BAP=∠CDP=90°，即AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB//CD，
∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，PA，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
解：(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
由(1)知AB⊥平面PAD，
又OP⊂平面PAD，
∴AB⊥PO，
∵PA=PD，∠APD=90°，
∴PO⊥AD，AD= a2+a2= 2a，PO= 22a，
又AB，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PO⊥平面ABCD，
∵四棱锥P−ABCD的体积为83，
由AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
得AB⊥AD，
又AB=DC，AB//CD
所以四边形ABCD为矩形
∴VP−ABCD=13×S四边形ABCD×PO
=13×AB×AD×PO
=13×a× 2a× 22a=13a3=83，
解得a=2，
∴PA=PD=AB=DC=2，
AD=BC=2 2，PO= 2，
∴PB=PC= 4+4=2 2，
由上述可知△PAD,△PAB,△PCD都是直角三角形，△PBC是等腰三角形
该四棱锥的侧面积：
S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC× PB2−(BC2)2
=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2 2× 8−2
=6+2 3．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法．
(1)推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，由AB⊥PO，PO⊥AD，得PO⊥底面ABCD，且AD= 2a，PO= 22a，由四棱锥P−ABCD的体积为83，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c，
由已知可得c2a2=59，
又a2=b2+c2，AB= a2+b2= 13，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为：x29+y24=1，
(2)设点P(x1,y1)，M(x2,y2)，(x2>x1>0)，则Q(−x1,−y1).
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，
∴|PM|=2|PQ|，从而x2−x1=2[x1−(−x1)]，
∴x2=5x1，
易知直线AB的方程为：2x+3y=6．
由2x+3y=6y=kx，可得x2=63k+2>0．
由4x2+9y2=36y=kx，可得x1=6 9k2+4，
9k2+4=5(3k+2)⇒18k2+25k+8=0，解得k=−89或k=−12．
由x2=63k+2>0，
可得k>−23，故k=−12．
【解析】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
(1)设椭圆的焦距为2c，由已知可得c2a2=59，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可得解．
(2)设点P(x1,y1)，M(x2,y2)，(x2>x1>0)，则Q(−x1,−y1)，由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2−x1=2[x1−(−x1)]，x2=5x1，联立方程求出由x2=63k+2>0，x1=6 9k2+4，可得k．
22.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=2ax+1−lnx−1=2ax−lnx(x>0)，
依题意知：f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即2a≥lnxx(x>0)．
令g(x)=lnxx(x>0)，则g′(x)=1−lnxx2=lne−lnxx2(x>0)，
知g(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，
g(x)max=g(e)=1e，于是2a≥1e，即a≥12e．
(Ⅱ)证明：依题意知x1，x2(x10)的两个根，
即2ax1−lnx1=0，2ax2−lnx2=0，(0可得2a(x1+x2)=lnx1+lnx2，2a(x1−x2)=lnx1−lnx2．
所以lnx1+lnx2=x1+x2x1−x2lnx1x2=x1x2+1x1x2−1lnx1x2(0欲证x1x2>e2，只要证lnx1+lnx2>2⇔(x1x2+1)lnx1x2<2(x1x2−1)(0令h(t)=(t+1)lnt−2(t−1)(0则h′(t)=lnt+1t−1(0再令φ(t)=lnt+1t−1(0可知：φ(t)=h′(t)在(0,1)上递减，
可知h′(t)>h′(1)=0，即h(t)在(0,1)上递增，
有h(t)综上可知：x1x2>e2．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．
(Ⅰ)求出函数的导数，问题转化为2a≥lnxx(x>0)，令g(x)=lnxx(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可；
(Ⅱ)欲证x1x2>e2，只要证lnx1+lnx2>2⇔(x1x2+1)lnx1x2<2(x1x2−1)(0

2022-2023学年河南省开封市新世纪高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

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