福建省厦门市国贸协和双语高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

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考试范围：必修第二册第六章及第七章（第一节）
本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 向量与向量的长度相等
C. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的相关概念即可逐一判断.
【详解】对于A；当，则不一定平行，故A错，
对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，
对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，
对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，
故选：B
2. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量坐标表示直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
3. 设向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示，直接计算即可.
【详解】，则，即，解得.
故选：B.
4. 已知，且两个向量夹角为，则（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，向量，且两个向量夹角为，
则.
故选：C.
5. 已知向量满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到结果.
【详解】，
，.
故选：C.
6. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，
有余弦定理可得，csθ=，
易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．
7. 在中，，，，则的值等于（ ）
A. 20B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得与的夹角为，由数量积公式直接计算即可得到答案.
【详解】中，，，，与的夹角为，
则，
故选：B
【点睛】本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.
8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A. 有一解B. 有两解
C. 无解D. 有解但解的个数不确定
【答案】A
【解析】
【分析】运用正弦定理计算出，结合有，计算出即可得.
详解】由，得，
又 ，，故只能为锐角，即，
故该三角形只有一解．
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.
【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.
所以AC选项错误，BD选项正确.
故选：BD
10. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
11. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A.
B. 与的夹角为
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 与垂直的单位向量的坐标为或
【答案】BD
【解析】
【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项．
【详解】因为点，，，
所以，，所以，
所以，故A选项错误；
设与的夹角为，所以，
所以与的夹角为，故B选项正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或.
故D选项正确.
故选：BD.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设复数为纯虚数，则实数m的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以有，
故答案为：1
13. 在中，已知，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得：，
（舍）或.
故答案为：.
14. 在中，内角所对的边分别为，且，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，结合大边对大角性质可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点.
（1）设，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算可得，由此可得；
（2）利用基底表示出，根据向量数量积定义和运算律可求得结果.
【小问1详解】
，，，
.
【小问2详解】
由（1）知：，
，
.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：
（1）角B；
（2）的面积S.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】(1)正弦定理求解；
(2)根据面积公式求解.
【小问1详解】
由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
所以.
17. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，由此可得；
（2）根据向量夹角公式直接求解即可.
【小问1详解】
，
，.
【小问2详解】
，
.
18. 如图，北京年冬奥会会微以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法艺术形态创作而成.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折的位置通常为等特殊角度，为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制成，如图，测得，，，，若点恰好在边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）根据同角三角函数关系和正弦定理直接求解即可.
小问1详解】
由余弦定理得：.
【小问2详解】
由（1）得：，
在中，由正弦定理得：.
19. 已知，.
（1）若，求的值；
（2）求的最小值；
（3）若向量与向量的夹角为钝角，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果；
（2）根据向量模长的坐标表示可将所求模长转化为关于的二次函数的形式，结合二次函数性质可求得结果；
（3）根据向量夹角坐标表示可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
，，解得：.
【小问2详解】
，
，
则当时，.
【小问3详解】
与的夹角为钝角，，
即，解得：且，
的取值范围为.
五、附加题（共15分，计入总分）
20. 已知向量，则_______________．
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.
【详解】因为，所以，
故答案为：
21. 如图，在正六边形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可.
【详解】.
故选：C
22. 设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的减法求出，再利用向量共线求出k即得.
【详解】由，，得，
由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，
所以实数k为.
故答案为：
23. 在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
【小问2详解】
由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.