广东省深圳实验学校高中部2023-2024学年高一下学期第一阶段（4月）考试数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则的虚部为（ ）
A. 4B. -4C. 4iD. -4i
【答案】B
【解析】
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数，则的虚部为-4.
故选：B.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量就是有向线段B. 单位向量都是相等向量
C. 若，则D. 零向量与任意向量平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的有关概念确定正确选项.
【详解】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.
故选：D
3. 已知外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为是的外接圆圆心，，
所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，
因为，所以为等边三角形，，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：A
4. 已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】由题意，所以，
从而与向量同方向的单位向量为.
故选：A.
5. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
6. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．
【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，
联立，可解得，
因为点在线段上运动，则可设，
，
又，所以，
，
因为，所以．
故选：B．
7. 在中，，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰（非等边）三角形
【答案】D
【解析】
【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以为等腰非等边三角形.
故选：D
8. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ）
A. 在复平面对应的点位于第二象限B.
C. D. 为纯虚数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项.
【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误；
对B，根据复数模的公式，，故B正确；
对C，，而，故C错误；
对D，，，故D正确.
故选：BD.
10. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. 的面积为2B. 外接圆的半径为
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形面积公式逐项分析计算即可得解.
【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理，
得，解得，B正确；
的面积，A正确；
由，得，C错误；
由，得，即，
由，得，因此，
所以，D正确．
故选：ABD
【点睛】策略点睛：求三角形面积是解三角形的一种常见类型，经常利用正弦定理，进行边角转化求解.
11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为的垂心，，则
B. 若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C. 若为锐角三角形且外心为，且，则
D. 若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】
【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.
【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，

所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；

C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；

D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.

故选：ACD
【点睛】关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，，解得.
故答案为：.
13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
14. 已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围.
【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得，
设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；
过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，
连接FH，则点K､H为临界点；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以实数x的取值范围是().
故答案为：().
【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或3
（2）1或
【解析】
【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可.
（2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可.
【小问1详解】
若，则．
整理得，解得或．
故的值为或．
【小问2详解】
若，则有，即，解得或．
当时，，，∴，∴．
当时，，，∴，∴．
综上，的值为1或．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求角；
（2）若为边上一点，且，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合余弦定理求解，
（2）根据正弦定理即可结合和差角公式求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，所以.
【小问2详解】
，.
在中，，，
由正弦定理可得，即，
又，得，
即，
化简得，显然，即.
17. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=
（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两个三点共线设出来，列出方程组求解即可；
（2）由平面向量数量积的定义求夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
因P，R，C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
【小问2详解】
由（1），，，
则，
，
.
则；
18. 某小区拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

（1）请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
（2）设，求的取值范围.
【答案】（1）当时，
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得关于的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.
（2）由平面向量基本定理首先得，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.
【小问1详解】

由题意，，，，
在中，，
由正弦定理得，
即，即，
则顾客的休息区域面积，
即，其中，
而
，
因为，所以，
则当，即时，顾客的休息区域面积取得最大值，且最大值为.
【小问2详解】
由（1），，
所以，
由题意，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：关键是熟练利用三角恒等变换，从而可得三角函数性质，由此即可顺利得解.
19. 定义非零向量若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．
（1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
（3）已知向量的“伴生函数”在时的取值为．若在三角形中，，，若点为该三角形的外心，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
（2）根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
（3）根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可.
【小问1详解】
因为向量为函数的“源向量”，
所以 ，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在上有且仅有四个不相等的实数根，
令，
①当时，
②当时，，
所以 ，
其图象为：

结合,,,最大值为3，
故当在上有且仅有四个不相等的实数根时，
取值范围为.
【小问2详解】
由题意得:
，其中，
当，即时，
取最大值，
故，
则，
令，由于，
故，
即
则，解得，
所以（）
因为单调递增，所以，
所以的取值范围为
【小问3详解】
由题意得，，则，
在三角形中，
，，因此 ，
设三角形外接圆半径为，
根据正弦定理，，故
所以

代入得：，
所以当时，取得最大值3.
【点睛】关键点点睛：第1问的关键是参变分离，数形结合；第2问的关键是换元法构造函数；第3问的关键是利用正弦定理得到.