云南省大理白族自治州祥云县祥云祥华中学2023-2024学年高一下学期4月二调数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，复数，则=（ ）
A. B. C. D. 2
2. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若且，则D. 若，，则
3. 若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
4. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A 2：3B. 3：4C. 7：8D. 6：13
6. 在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为（ ）
A. B. 或C. D. 1或2
7. 已知复数z满足4且，则的值为
A. ﹣1B. ﹣2 2019C. 1D. 2 2019
8. 已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为
A. B. 2C. 4D. 6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 若，是关于的方程的两个虚根，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在中，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若为钝角，则
11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
12. 在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）

A. 水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形
B. 当时，水面的面积为
C. 当时，水面与地面的距离为
D. 当侧面与地面重合时，水面的面积为12
三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13 若复数，，则_________.
14. 已知为单位向量，且，则在上的投影向量为__________.
15. 若的面积为，角的对边分别是，且，则__________.
16. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________.
四、解答题（本大题共6题，共计70分，请写出必要的文字说明和演算步骤）
17. 已知，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
18. 如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积比.
19. 复平面内表示复数的点为．
（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
（2）当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
（3）当点位于直线上时，求实数的值．
20. 在中，边上一点，且平分．
（1）若，求与；
（2）若，设，求．
21. 如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）已知四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
22. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点.

（1）求证：；
（2）在线段上否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由.
（3）求二面角的正弦值．