四川省成都市第四十三中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到物体所得的图形确定正确的选项即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体的主视图是： ．
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
2. 亚投行候任行长金立群月日在北京表示，亚投行将在月底前正式成立，计划在年第二季度开始试营，计划总投入亿美元，中国计划投入亿美元，折合人民币约亿元，将亿元用科学记数法表示为( )元．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．不能合并，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由“两直线平行，内错角相等”，可求出度数，在中，利用三角形外角性质可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
是的一个外角，，
∴，故D正确．
故选：D．
5. 关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，可得，且，即可求解．
【详解】解：去分母得，，
∴，
∵方程的解是负数，且，
∴，且，
∴a的取值范围是且．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据．
6. 如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（ ）
A. 2B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．
【详解】解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．
7. 某销售公司有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
那么这15位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是（ ）
A. 320，210，230B. 320，210，210C. 206，210，210D. 206，210，230
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：根据表格可得：这15位销售人员该月销售量的众数、中位数都是210，而平均数是，所以B正确，故选B．
考点：1．众数；2．中位数；3．加权平均数．
8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下：

关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图像开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图像上有两点，则
【答案】D
【解析】
【分析】先利用待定系数法求二次函数解析式，再根据二次函数图像与性质对逐项判断即可．
【详解】解：由题意可知，抛物线的图像经过点，
即：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，，故C正确；
∵当，即，解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，，或，故D错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质等知识点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：正方形中，
，
∴，
∵反比例函数图象经过点B，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键．
11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设与交于点，与交于点，由，及中线的性质得，，可证，则由可得．
【详解】如图，设与交于点，与交于点，
，，且为边上的中线，
，，
将沿边上的中线平移到，
，
，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
12. 如图，在菱形中， ，对角线 ，则菱形的面积为________．

【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．由菱形的性质得出， ，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据菱形的面积，即可得出结果．
【详解】解：如图，设的交点为点O，

∵四边形是菱形，，
∴， ，
∴ ，
∴，
∴菱形的面积．
故答案为：24．
13. 如图，平行四边形中，，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的周长是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知AD＝BC＝3，CD＝AB＝7，再由垂直平分线的性质得出AE＝CE，据此可得出结论
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD＋（DE＋AE）＝AD＋CD＝3＋7＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）
（2）解方程组：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和开方，再算加减即可；
（2）先把二元一次方程组转化成一元一次方程，求出y，再求出x即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：依题意得：，
由得，即，
把代入①得，，即，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，负整数指数幂，零指数幂和开方等知识点，能正确运用知识点进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）的关键．
15. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．我区某校在今年的“数学节”活动中开展了如下四项活动：A．趣味魔方；B．折纸活动；C．数独比赛；D．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）200人
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用喜欢D的人数除以其所占百分比，即可进行解答；
（2）用这次被调查总人数减去喜欢A、B、D的人数，即可求出喜欢C的人数，再画出条形统计图即可；
（3）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：喜欢C的人数为（人），
补全条形统计图为：
【小问3详解】
解：
总共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据关联，用列表格或画树状图的方法求概率，解题的关键是从统计图中获取需要的数据，以及列表格或画树状图的方法求概率的方法．
16. 如图，在那大镇中兴大道的路边有一块宣传“社会主义核心价值观”竖直标语牌．有工作人员在马路的对面的一处平台点测得标语牌顶端处的仰角为，测得平台在地面的底端处的俯角为（在同一条直线上），平台的斜坡，标语牌底端到地面的距离，求标语牌的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，
【答案】米
【解析】
【分析】作于点，如图所示，在中，，，，根据含直角三角形边的关系得到，，从而在中，，，得到，进而由图中线段关系即可得到，．
【详解】解：作于点，如图所示：
在中，，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴（精确到米），
答：标语牌的长约为米．
【点睛】本题考查解直接三角形实际应用，涉及含直角三角形性质、仰角与俯角、正切函数值定义等知识，读懂题意，在直角三角形中正确运用三角函数列式求解是解决问题的关键．
17. 如图，在中，，是的平分线，O是上的一点，以为半径的经过点D，过点D作于点E．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据是的平分，得，即可证明全等；
（2）要证是的切线，只要连接，再证即可；
（3）过点D作于点E，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再根据勾股定理得出的长．
【小问1详解】
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
连接．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
小问3详解】
由（1）知，，
∴，，
在中，，，
，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理．解题的关键是根据能够灵活应用定理进行证明．
18. 定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连接EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE =2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．
【答案】（1）逆等线EF的长为；
（2）EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据逆等线的定义得出CF=AE=2，AF=3，根据勾股定理得出EF的长度；
（2）连接AD，根据题意证明出△EDA和△FDC全等，从而得出AE=CF，得到逆等线；
（3）设OF=x，作AG⊥OB，CH⊥AG，根据逆等线的性质得出△ACH和△DBF全等，从而得出EG=x-4，根据△ACH和△COE相似得出x的值，从而得出x的值，即OF的长度．
【小问1详解】
∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF=AE=2，
又∵AB=AC=5，
∴AF=3．
∵EF⊥AB，
∴；
【小问2详解】
如图，连接AD，
∵在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，
∴AD=CD，∠ADC=90°．
又∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠EDA=∠FDC
∴△EDA≌△FDC(SAS)
∴AE=CF ，
∴EF为等腰△ABC的逆等线；
【小问3详解】
如图，作AG⊥OB，CH⊥AG，
设OF=x，则．
∵CD为△AOB的逆等线，
∴AC=BD．
又∵∠ACH=∠AOB=∠DBF，∠AHC=∠AGO=∠DFB，
∴△ACH≌△DBF(AAS)
∴EG=CH=BF，AH=DF．
又∵AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG-BF=OG-EG=OE，
∴EG=x-2-2=x-4．
∵OE=2，
∴．
由题意易证△ACH∽△COE，
∴，即，
化简得
解得：，（舍）．
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何的综合等知识．理解“逆等线”的定义，并正确的作出辅助线是解题关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，则的值为______．
【答案】39
【解析】
【分析】由已知得到和，再整体代入，利用完全平方公式化简即可求解．
【详解】解：将，两边同时除以m，得：，
由，可得：，
所以
．
故答案为：39．
【点睛】本题考查了分式的加减以及完全平方公式的运用，解题关键是正确将已知变形．
20. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟．
【答案】800
【解析】
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
21. 如图，在菱形中，点P为对角线上的动点（不与端点重合）．过点P作于点M，于点N，连接，已知，，则的最小值等于 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】过点P作，垂足为，过点D作，垂足为，交于点，连接，交于点，连接，根据菱形的性质，得到，，由，，结合，推出点三点共线，即是定值，当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，进而得到有最小，最小值为，根据，，求出，利用菱形的面积公式即可求出，由菱形的性质，易证，利用三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：过点P作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，，连接，交于点，
是菱形，，，
，，
，，，
三点共线，即是定值，
当点三点共线时，即点G，M重合，有最小值，最小值为的长，
有最小，最小值为，
，，
，，
，，
，
菱形的面积为：，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确做出辅助线证明三角形相似是解题的关键．
22. 已知关于x的多项式，二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足．若当和（t为任意实数）时的值相同；当时，的值为2，则二次项系数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知化简成关于a的不等式，再利用二次函数图象与不等式的关系解决即可．
【详解】∵当和（t为任意实数）时的值相同
∴
∴整理得①
∵时，的值为2
∴②
将①代入②得
∴
∵
∴
∴整理得
设
画函数图象如图，由图像知时的图象在x轴下方
∴
【点睛】
本题考查了二次函数图象与不等式的关系，解方程，解不等式等知识点，，熟练掌握其知识是解决此题的关键．
23. 定义：如图1，在中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称点P为边上的“整点”．
如图2，已知等腰三角形的腰长为，底边长为6，则底边上的“整点”个数为________；
如图3，在中，，，且边上有6个“整点”，则的长为_______．
【答案】 ①. 5 ②. 9
【解析】
【分析】设整点与等腰三角形的顶点的连线的距离为l，l为整数，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得出，问题得解；设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，得出当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，再据此得出符合条件的h的值，问题随之得解．
【详解】设整点与等腰三角形的顶点的连线的距离为l，l为整数，
根据勾股定理可得，底边的高为1，如图，
即有：，
根据l为整数，可知l可以为1、2、3，
结合上图，根据等腰三角形的对称性可知， “整点”个数为5；
如图，边上的高为h，
设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，
即当“整点”在上时，，
当“整点”在上时，，
∴在上的“整点”数目比在上时的数目多1，
即此时“整点”的数目之和必为奇数，当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，
∵边上有6个“整点”， “整点”的数目之和为偶数，
∴点D也为“整点”，即边上的高的长度h为整数，
当时，“整点”在上时，，此时有4个“整点”；“整点”在上时，，此时有5个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为8个；
当时，“整点”在上时，，此时有3个“整点”；“整点”在上时，，此时有4个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为6个，此时符合题意；
当时，“整点”在上时，，此时有2个“整点”；“整点”在上时，，此时有3个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为4个；
可知随着的h值越来越大，“整点”的数目越来越少直至为0，
综上：，即，
∴，，
∴，
故答案为：5，9．
【点睛】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，充分利用垂线段最短，得出整点与三角形顶点A的连线的距离l的取值范围，是解答本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是元，购进乙种汤圆的金额是元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多40袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍．
（1）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共袋，若总金额不超过元，最多购进多少袋甲种汤圆？
【答案】（1）甲种汤圆的单价是6元，乙种汤圆的单价为5元；
（2）最多购进袋甲种汤圆．
【解析】
【分析】（1）设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据“购进的甲种汤圆比乙种汤圆多40袋”列分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种汤圆，根据“总金额不超过元”列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，
则，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
，
答：甲种汤圆的单价是6元，乙种汤圆的单价为5元；
【小问2详解】
设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种汤圆，
根据题意得，，
解得，
答：最多购进袋甲种汤圆．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解题的关键．
25. 如图，已知抛物线（＞0）与轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与轴交于点C．
（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交轴交于点E，若AE:ED＝1:4，求的值.

【答案】（1）；（2）点P的坐标为 ；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似可求AO•OB，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n；
（2）求出B、C坐标，设出点Q坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q点坐标；
（3）设出点D坐标（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根与系数关系表示OB，得到点B坐标，进而找到b与a关系，代入抛物线求a、n即可．
【详解】（1）若△ABC为直角三角形
∴△AOC∽△COB
∴OC2=AO•OB
当y=0时，0=x2-x-n
由一元二次方程根与系数关系
-OA•OB=OC2
n2=＝−2n
解得n=0（舍去）或n=2
∴抛物线解析式为y=；
（2）由（1）当=0时
解得x1=-1，x2=4
∴OA=1，OB=4
∴B（4，0），C（0，-2）
∵抛物线对称轴为直线x=-＝−
∴设点Q坐标为（，b）
由平行四边形性质可知
当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（，b+2）
代入y=x2-x-2
解得b=，则P点坐标为（，）
当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（-，b-2）
代入y=x2-x-2
解得b=，则P坐标为（-，）
综上点P坐标为（，），（-，）；
（3）设点D坐标为（a，b）
∵AE：ED=1：4
则OE=b，OA=a
∵AD∥AB
∴△AEO∽△BCO
∵OC=n
∴
∴OB=
由一元二次方程根与系数关系得，
∴b=a2
将点A（-a，0），D（a，a2）代入y=x2-x-n

解得a=6或a=0（舍去）
则n= .
【点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．
26. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边四等分点， ，，，．求四边形的周长．
问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究
（1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______．
（2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）．
【答案】问题解决：18；问题探究：（1）；（2）
【解析】
【分析】问题解决；先得到，再证明，求出，；进一步证明四边形是平行四边形．得到，由此即可得到答案；
问题探究：（1）首先证明，得，推出，则，证明，得到，再由，得到，则，进而得到，则；
（2）连接，过点D作，交于G，先得到，证明，推出，，设，则，则，，证明，推出，得到，则，即可得到，则．
【详解】解：问题解决：∵D是的四等分点，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴四边形周长；
问题探究：（1）连接，
由问题解决同理可得：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，过点D作，交于G，
∵点F为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
设，则，
∵的面积为m，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，构造相似三角形是解题的关键．
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
1
0
…
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）