2024年天津市南开区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年天津市南开区中考一模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
第Ⅰ卷 （选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为9460700000000千米，将数9460700000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
5．如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，和1的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．下列方程中两根之和为2的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F；
④连接．
若，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，连结，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为．
有下列结论：
①当水面宽度为时，水面下降了；
②当水面下降时，水面宽度为；
③当水面下降时，水面宽度增加了．
其中，正确的是（ ）
A．0B．1C．2D．3
第Ⅱ卷 （非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分；共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13．计算的结果是 ．
14．从，，，，中任取一个数作为，则抛物线开口向下的概率为 ．
15．计算的结果为 ．
16．直线与x轴交于点，与y轴交于点，将直线沿y轴向下平移2个单位长度得到直线l，则直线l的解析式为 ．
17．如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，是的外接圆．

（I）线段的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，上方的圆上画点P，使得，并画出的中点Q．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______________，
(2)解不等式②，得______________，
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______________．
20．我区某校为了解学生锻炼情况，随机调查了名学生每周跑步的时间（单位：小时），根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②，请据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：的值为______________，图①中的值为______________；
(2)求统计的这组学生锻炼时间数据的平均数、众数和中位数．
21．在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，．
(1)如图1，若，求和的大小；
(2)如图2，过点D作交AB于点G，若，且，求的半径．
22．如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为．
(1)求斜坡的高度的长；
(2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）．
23．已知小明家、公共健身区、超市依次在同一条直线上，公共健身区距离小明家，超市距离小明家．小明从家里出发，匀速慢跑到公共健身区，在公共健身区进行锻炼；接着他匀速快走到达了超市，在超市短暂停留了购买商品；最后，他匀速散步回到家中．下面图中（单位：）表示小明离开家的时间，（单位：）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与小明离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：①超市到公共健身区距离为___________；
②小明在公共健身区进行锻炼的时间为___________；
③小明从超市返回到家的速度为___________；
④当时，请直接写出关于的函数解析式．
(3)当小明离开家时，妈妈带着弟弟从家出发以的速度匀速步行直接去超市，那么她们在去超市途中遇到小明时离家的距离是___________．
24．在平面直角坐标系中，，均为等边三角形，其中点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F．
(1)如图1，连接，，直接写出和的数量关系______________；
(2)如图2，若，垂足为点M．延长与交于点．求旋转的角度和点N的坐标；
(3)如图3，在（2）的情况下，将沿平移，点E，A，F的对应点分别为，（点在线段上，不与线段端点重合），，得到'．设，与重叠部分的面积为S．
①当与重叠部分为三角形时，用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
25．抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接．
(1)当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标；
(2)当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标；
(3)已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标．
参考答案与解析
1．B
【解答】解：原式＝
＝﹣1．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可求解．
【解答】解：∵，则，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
【解答】从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了实数的运算，首先化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】
故选：A．
7．A
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【解答】解：
，
故选：A．
【点拨】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
8．D
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据求出解析式，再结合反比例函数的性质求解即可得到答案；
【解答】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵，
∴反比例函数在上y随x增大而减小，且小于0，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【解答】解：A、的两根之和为，故A错误；
B、由可知：，该方程无实数根，故B错误；
C、的两根之和为，故C正确；
D、的两根之和为，故D错误．
故选：C．
10．B
【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案．
【解答】解：由作图方法可知，平分，垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴点F为的中点，
∴，
∴的周长为，
故选；B．
11．C
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数的定义．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，据此求解即可判断．
【解答】解：，，，
，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
，，，
，
，
∴，
设，由旋转的性质得，
∴等边对等角得，，
∴，
∵，
∴，
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故选：C．
12．D
【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键．
建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得．
【解答】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，
根据题意得，，，
由对称性知，
∴，，，
设抛物线解析式为，
代入得，，
解得，，
∴，
设水面下降到位置，
当水面宽5米时，
设，
则，
∴水面下降了，①正确；
当水面下降时，
设，则，
解得，，
∴水面宽度为，②正确；
当水面下降时，
设，则，
解得，
∴水面宽度为，
∴水面宽度增加了，③正确．
故选D．
13．
【分析】本题主要考查积的乘方，直接运用乘方的运算法则计算即可；确定结果的正负是解答本题的关键．
【解答】解：．
故答案为：．
14．##0.4
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、列举法求概率，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
根据二次函数的性质找出五个数中符合条件的数即可求解．
【解答】解：要使抛物线开口向下，
，
在，，，，中只有，符合，
要使抛物线开口向下的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的运用．
根据平方差公式即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，掌握待定系数法求解析式以及平移规律是解题的关键．利用待定系数法求得直线的解析式，然后利用平移规律即可求得直线的解析式．
【解答】解：设直线为，
代入得，，解得，
直线为，
将直线沿轴向下平移2个单位长度得到直线，则直线的解析式为．
故答案为：．
17．5
【分析】延长交于点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明是线段的垂直平分线，得，，再证明，得，则，进而由勾股定理求出，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长交于点，连接，
，点为的中点，
，
点在线段的垂直平分线上，
是等腰直角三角形，
，
是线段的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
18． 取格点D，连接CD并延长交于点P，取格线与的交点E，连接PE交AB于点F，连接CF并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．
【分析】本题考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
①对运用勾股定理求解即可；
②先根据垂径定理找到点P位置，其依据是在同圆或等圆中，等弦对等弧，再根据同弧所对的圆周角相等找出点Q的位置．
【解答】①解：在中，，
故答案为：．
②如图，取格点D，连接并延长交于点P，取格线与的交点E，连接交于点F，连接并延长，与圆交于点Q，点P，Q即为所求．

19．(1)
(2)
(3)图见解答
(4)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】（1）解：

，
故答案为：．
（2）解：
解得：，
故答案为：．
（3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）解：
由①得：
由②得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
20．(1)，；
(2)平均数为，众数为，中位数为．
【分析】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求平均数、求众数、求中位数，解题关键是找到条形统计图和扇形统计图对应的关联信息．
（1）综合扇形统计图和条形统计图进行对比分析即可求解；
（2）根据条形统计图中的数据及平均数、众数、中位数定义即可求解．
【解答】（1）解：结合题中的扇形统计图和条形统计图可得：
，
，
即，
故答案为：，．
（2）解：，
这组数据的平均数为；
这组数据中，出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为；
将这个数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是和，
，
这组数据的中位数为．
综上，统计的这组学生锻炼时间数据的平均数为；众数为；中位数为．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）连接，与交于点H，由直径得到，然后由切线的性质得到，进而求解即可；
（2）连接，与交于点H，设，证明出四边形为矩形，得到，且，然后证明出四边形为平行四边形，得到，进而表示出，，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）如图，连接，与交于点H，
为的直径，
，
，
；
与相切于点E，且为半径，
于点E，即，
，
，
；
（2）如图，连接，与交于点H，设，
由（1）可知，
四边形为矩形，
，且，
于点H，且为半径，
，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又，且，
，
，
在中，，
，
解得：，
即：的半径为．
【点拨】本题考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
22．(1)斜坡的高度EF的长为m；
(2)旗面宽AB的长约为m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用含的直角三角形的性质可得米；
（2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）在中，，
，由勾股定理．
斜坡的高度的长为；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，即四边形为矩形，
则，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
（m），
旗面宽的长约为m．
23．(1)，；
(2)①；②；③；④当时，；当时，；当时，．
(3)或或．
【分析】（1）结合图像和文字共同判断小明在该时间段内的运动速度及状态即可求解；
（2）①②③结合图像和题中文字即可求解，④根据图像算出对应时间段小明的运动速度后，分段表示不同时间段内关于的函数解析式；
（3）首先根据题意用表示出妈妈和弟弟在小明离家后离家的距离，并求出对应的的取值范围；在的基础上继续得出和两个时间段内小明离家的距离与小明离开家的时间的函数解析式，最后分类对不同时间段内妈妈弟弟和小明是否相遇进行判断，判断后寄了求出妈妈弟弟在去超市途中遇到小明时离家的距离．
【解答】（1）解：根据图像可得：
小明前往公共健身区时匀速慢跑的速度为，
时，小明离家的距离；
当时，小明仍在公共健身区锻炼，
．
故答案为：；．
（2）解：①公共健身区离小明家，超市距离小明家，
且小明家、公共健身区、超市依次在同一条直线上，
超市到公共健身区距离为，
故答案为：．
②根据图象可得，小明在公共健身区进行锻炼的时间为，
故答案为：．
③根据图象可得，小明从超市出发，到家，
小明从超市返回到家的速度为，
故答案为：．
④当时，可分三个时间段表示关于的函数解析式：
时，，
时，，
时，设，
将、分别代入可得，
，
解得，
，
综上，当时，；
当时，；
当时，．
（3）解：依题得：妈妈和弟弟在时从家出发，以的速度去超市，
则可用即表示妈妈和弟弟离家的距离，其中，
当时，，解得，
，
又时，小明离家的距离为，
时，小明离家距离为，即．
由得，她们可能遇到小明的时间段有：
①时，，
解得，在该时间段内，
此时，
她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是；
②时，，
解得，在该时间段内，
此时，
她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是；
③时，，
解得，不在该时间段内，
此情况不成立；
④时，，
解得，在该时间段内，
此时，
她们在去超市途中遇到小明时离家的距离可能是．
综上，她们在去超市途中遇到小明时离家的距离是或或．
【点拨】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、一元一次方程的应用、一次函数的实际应用，解题关键是理解题意及熟练掌握一次函数的应用．
24．(1)
(2)旋转角为，点坐标为；
(3)①；②或．
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）根据，是等边三角形即可求出，，进而求出点N坐标；
（3）①根据题意，画出图形，找到当与重叠部分为三角形时点位置，再根据三角形面积公式计算即可，②根据函数解析式求出，再由函数性质得出t的取值范围．
【解答】（1）解：∵由旋转性质可知：，
∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴
（2）如解（2）图1，过点N作，垂足为，
∵，是等边三角形，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，故旋转的角度为，
∴，，
∵在为等边三角形中，，
∴，
，
故点坐标为
（3）解：由（2）得，，
∴，
∵点，点．
∴，
∴，
当落在上时，落在上时，与重叠部分为，如解（3）图1，
，此时：，
当落在上时，落在延长线时，当与重叠部分为，如解（3）图2，
此时：，
，
故当时，与相交，与重叠部分为三角形，为直角三角形，，
综上所述：，
②当时，即，
解得：，（不合题意舍去），
∴时，．
【点拨】本题考查二次函数与几何图形面积问题，解直角三角形，等边三角形的性质解题的关键是根据题意找到动点面积变化的节点分类讨论，再根据二次函数的性质直接求解．
25．(1)，
(2)点M坐标为时，有最大值
(3)，点P的坐标为
【分析】（1）当时，求出点B坐标，将点A和B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式；
（2）当时，写出抛物线解析式，再将点代入解析式求出点B的坐标，根据点A和点B的坐标求出直线的解析式，设直线与x轴的交点为F，利用锐角三角函数可求出，过点M作轴与直线交于点E，利用铅锤法可求出的最大值，根据，求出的最大值，进而求出点M的坐标；
（3）根据题中点A，Q，B，D的坐标特点易知轴，，，作关于对称的线段，在上截取，根据对称性和平行的性质有，易证，从而，结合图形易知当点在同一直线上时，最小，即最小，此时根据两点距离公式写出，根据的最小值为，求出此时的m，进而求出点B和的坐标，将点B代入抛物线解析式，即可求出b的值，再利用点B和的坐标求出直线解析式，将点代入求出n，从而求出，作于H，易求点P的横坐标，将点P的横坐标代入直线的解析式，求出纵坐标，即可得到点P的坐标．
【解答】（1）解：当时，点B坐标为，
将点和代入得到：
，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
顶点的坐标为；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
将点代入得，
解得或，
，
，
，
设直线为，
将代入得，
解得，
直线解析式为，
如图，直线与x轴的交点为，
，
，
过点M作轴与直线交于点E，
，
设点，则点，
，
当时，，
，
此时点M的纵坐标=，
点M坐标为；
（3）解： 点和点，点和点，
轴，，，
如图，作关于对称的线段，在上截取，
由（2）得，
根据对称性和平行的性质有，
，
，
由图可知当点在同一直线上时，最小，即最小，
此时点，
，
解得（舍负），
此时点，点，即点和点，
将点B代入抛物线解析式，得到，
，
设直线解析式为，将点代入，得到，
解得，
直线解析式为，
将点代入得到，
，
，
作于H，则，
，
点P的横坐标为，
将代入直线解析式中，
得到，
点P的坐标为．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数的图象和性质，二次函数的线段问题，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等，解题关键是作出相应的辅助线，数形结合进行分析．
小明离开家的时间（单位：）
小明离家的距离（单位：）