新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题(含解析)
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这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题(含解析),共14页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
(考试时间:90分钟试卷满分:100分)
一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.)
1.在下列二次根式中,属于最简二次根式的是( )
A.B.C.D.
2.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A.B.C.D.
3.下列各式计算正确的是( )
A.B.C.D.
4.一等腰三角形的底边长是12,腰长为10,则底边上的高是( )
A.15B.13C.10D.8
5.下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A.斜边长为5B.三角形的周长为25
C.斜边长为25D.三角形的面积为20
7.计算×的结果是( )
A.6B.6C.6D.6
8.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )
A.12米B.13米C.14米D.15米
9.如图,点A表示的实数是( )
A.B.C.D.
10.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a.较短直角边长为b,若,大正方形的面积为.则小正方形的边长为( )
A.8B.9C.10D.11
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分.)
11.若是二次根式,则的取值范围是 .
12.计算: .
13.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为
14.平面直角坐标系中,点到原点的距离是 .
15.若,则 .
16.如图由于台风的影响,一棵树在离地面处折断,树顶落在离树干底部处,则这棵在折断前(不包括树根)长度是 .
三、解答题(本题共5小题,共52分.)
17.计算
(1)
(2)
(3)
(4)
18.(1)已知,,求的值.
(2)先化简,后求值: , 其中 .
19.如图,等边△ABC的边长是6.
求:(1)高AD的长;(2)这个三角形的面积.
20.如图,在中,是的边上的高,E为垂足且.
(1)试判断的形状,并说明理由.
(2)求的长.
21.为了增强学生体质,丰富校园文化生活,推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”,某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地,供同学们课间活动使用,如图,已知,,,,施工人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间的距离,就确定了.
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离,以及确定的依据;
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元,请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元?
22.图1为“弦图”,最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,它标志着中国古代的数学成就.根据该图,赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积,通过正方形面积相等,从而证明了勾股定理.现有4个全等的直角三角形(图2中灰色部分),直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它们拼合为图2的形状.
(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线,从而轻松证明了勾股定理,请你根据小诚同学的思路写出证明过程;
(2)当,时,求图2中空白部分的面积.
参考答案与解析
1.C
【分析】本题考查最简二次根式,掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键.
根据最简二次根式的定义进行解题即可
【解答】解:A、,不符合题意;
B、,不符合题意;
C、是最简二次根式,符合题意;
D、,不符合题意;
故选:C.
2.C
【解答】根据最简二次根式的定义判断即可.
【分析】解:A.,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
B.,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
C.是最简二次根式,故本选项符合题意;
D.,不是最简二次根式,故本选项不符合题意.
故选C.
【点拨】本题考查最简二次根式的概念,解题的关键是掌握最简二次根式的定义.如果一个二次根式符合下列两个条件:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;被开方数的因数是整数,因式是整式.那么,这个根式叫做最简二次根式.
3.D
【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可.
【解答】解:A、,故此选项计算错误,不符合题意;
B、,故此选项计算错误,不符合题意;
C、,故此选项计算错误,不符合题意;
D、,故此选项计算正确,符合题意;
故选:D.
【点拨】本题考查了算术平方根和立方根,解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质.
4.D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理等知识.由等腰三角形的性质和勾股定理,计算求解即可.
【解答】解:由等腰三角形的性质和勾股定理得,底边上的高为,
故选:D.
5.D
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用,正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键.根据勾股定理逆定理分别计算并判断.
【解答】解:A、∵,
∴不能组成直角三角形;
B、∵,
∴不能组成直角三角形;
C、∵,
∴不能组成直角三角形;
D、∵,
∴能组成直角三角形;
故选:D.
6.A
【解答】试题分析:有勾股定理得:斜边==5,故A正确,C错误;
三角形的周长为:3+4+5=12,故B错误;
三角形的面积为:×3×4=6,故D错误.
故选A.
7.A
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法,正确掌握二次根式乘法法则是解题关键.直接运用二次根式乘法法则计算得出答案.
【解答】解:原式
.
故选:A
8.A
【分析】本题考查了勾股定理的应用;由题意知,梯子的长度、梯子底端离建筑物的长度、梯子达到建筑物的高度正好构成一个直角三角形,由勾股定理即可解决.
【解答】解:13米长的梯子可以达到建筑物的高度是(米)
故选:A.
9.C
【分析】本题考查了实数和数轴,以及勾股定理,注意原点左边的数是负数.根据勾股定理可求得的长为,再根据点A在原点的左侧,从而得出点A所表示的数.
【解答】解:如图,
∵,,
∴,
∵点A在原点的左侧,
∴点A在数轴上表示的实数是,故C正确.
故选:C.
10.B
【分析】本题考查了勾股定理,完全平方公式的应用,算术平方根的含义,根据大正方形的面积结合即可求解,解题的关键是熟练应用勾股定理以及完全平方公式.
【解答】解:∵直角三角形较长直角边长为a.较短直角边长为b,
∴小正方形的边长为
∵大正方形的面积为,
∵大正方形的面积
即小正方形的边长为,
故选:.
11.
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键.根据被开方数是非负数,建立不等式求解即可.
【解答】解:是二次根式,
,即,
故答案为:.
12.
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算,先化简,再合并同类二次根式即可.
【解答】解:,
故答案为:.
13.
【分析】先用勾股定理求出斜边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.
【解答】∵直角三角形的两直角边长分别为5和12,
∴斜边长=
∵直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高,
∴斜边的高=.
故答案为:.
【点拨】本题考查勾股定理及直角三角形面积,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
14.
【分析】作轴于,则,,再根据勾股定理求解.
【解答】作轴于,则,.
则根据勾股定理,得.
故答案为:.
【点拨】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用.点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值.
15.1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a,b的值,即可求出答案.
【解答】∵
∴,,
∴,
故答案为:1.
【点拨】本题考查了绝对值的非负性,二次根式的非负性,整数指数幂,得出a,b的值是解题关键.
16.##16米
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形,根据勾股定理解答即可.
【解答】解:如图,
由题意得,
在直角三角形中,根据勾股定理得:(米).
所以大树的高度是(米).
故答案为:.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用,关键是熟练掌握勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
17.(1)0
(2)5
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键.
(1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
(2)先根据完全平方公式及二次根式的乘法法则进行计算,再合并即可;
(3)根据二次根式的乘法法则进行计算即可;
(2)根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
【解答】(1)原式,
;
(2)原式,
,
;
(3)原式,
;
(4)原式,
.
18.(1)(2),
【分析】(1)先求出,,,再利用求值即可;
(2)先由得,,化简得,从而得解.
【解答】解:(1)∵,,
∴,,,
∴
(2)∵,
∴,
∴
,
【点拨】本题考查二次根式的混合运算,分式的化简求值,掌握相关运算法则是解题的关键.
19.(1)AD=;(2)面积为;
【分析】(1)根据等边三角形的三线合一的性质可得D是BC的中点即BD=CD,在直角三角形ABD中,已知AB、BD,根据勾股定理即可求出AD的长
(2)根据三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积
【解答】(1)等边三角形的高即为中线,故D是BC的中点
∵AB=6
∴BD=3
∴AD=
(2)∵BC=6,AD=
∴等边△ABC的面积=BC·AD=
【点拨】此题主要考查等边三角形的性质
20.(1)△ABD是直角三角形;(2)4.
【分析】(1)根据勾股定理先求出AB,再利用勾股定理的逆定理判断即可;
(2)由是的边上的高,利用面积桥计算即可.
【解答】解:(1)∵在中,,
根据勾股定理AB=,
∵,
∴△ABD是直角三角形;
(2)∵是的边上的高,
∴S△ABD=,
∴.
【点拨】本题考查勾股定理,勾股定理逆定理,直角三角形面积等积式,掌握勾股定理,勾股定理逆定理,直角三角形面积等积式,掌握勾股定理,勾股定理逆定理,直角三角形面积等积式,掌握勾股定理,勾股定理逆定理,直角三角形面积等积式是解题关键.
21.(1)施工人员测量的是AC的距离,见解析
(2)12540元
【分析】(1)直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案;
(2)直接利用勾股定理的逆定理得出,再利用直角三角形的面积公式求出答案.
【解答】(1)施工人员测量的是AC的距离.依据:若,则.
在中,,,
∴,
∴为直角三角形,且.
(2)在中,,,
∴为直角三角形,且.
∴,
∴(元).
答:该学校建成这块塑胶场地需花费12540元.
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理的应用,正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键.
22.(1)见解析
(2)13
【分析】(1)根据图形可得,图2中图形的总面积可以表示为:以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积;也可以表示为:以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积;两种表示方法面积相等,即可求证;
(2)根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积,将,代入求解即可.
【解答】(1)解:图2中图形的总面积可以表示为:以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积,
即,
也可以表示为:以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积,
即,
∴,即.
(2)解:当时,,
由图可知,空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积,
即:空白部分面积为:.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明,解题的关键是根据图形,得出图形面积的两种不同表示方法.
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