初中浙教版2.1 一元二次方程当堂检测题

这是一份初中浙教版2.1 一元二次方程当堂检测题，共23页。试卷主要包含了若x为任意实数，且M＝，　，此时线段BQ的最小值为　　等内容，欢迎下载使用。
1．（锦江区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
故选：D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
2．（鞍山）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0B．k＜且k≠0C．k≤且k≠0D．k＜
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（ ）
A．10B．84C．100D．121
【分析】利用配方法以及二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
故选：C．
【点评】本题考查配方法的应用、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x2﹣xy+4y2＝4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．
【解答】解：方法一：∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即，，或，时等号成立．
∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，即，或，时等号成立．
∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．
∴．
方法二：由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，．
∴xy的最大值为，最小值为．
因此，，，，
故选：C．
方法三：
由题意得，
①﹣②，得2xy＝u﹣4，
u＝2xy+4，
把②两边加5xy，得（x+2y）2＝4+5xy⩾0，
解得：，
把②两边减3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy⩾0，
解得：xy≤，
∴，
，
因此，，
，
，
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为2xy+4，再确定xy的范围．
5．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac＝b2，即可求解．
【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝DE＝b，
∴∠BDM＝∠MEC＝90°+∠BAC，
∴∠BMC＝90°+∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴，
∴BD•EC＝MD•ME，
即：ac＝b2，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键．
二．填空题（共9小题）
6．（尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）•x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm2）．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
7．（邛崃市期末）如图，线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是 （0，1） ，此时线段BQ的最小值为 ．
【分析】先解一元二次方程，求解出A，B坐标，接着以AB为斜边构造等腰直角三角形，使△MAB与△PAQ形成旋转相似，进而得到新的旋转相似，即△BAQ∽△MAP，从而利用相似比，得到BQ＝，M点坐标可求，P为y轴上一动点，利用垂线段最短，得到当MP⊥y轴时，MP最短，从而BQ最短，即可解决．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x＝2或4，
∵线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，
∴OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（﹣4，0），AB＝2，
∴以AB为斜边构造等腰直角三角形MAB，如图1，连接MP，AQ，
过M作MN⊥AB于N，则MN＝BN＝AN＝1，
∴M的坐标为（﹣3，1），
∵△MAB与△PAQ均为等腰直角三角形，
∴AM＝BM，AP＝QP，∠MAB＝∠PAQ＝45°，AB＝，AQ＝，
∴∠MAB+∠MAP＝∠PAQ+∠MAP，
∴∠BAQ＝∠MAP，
又，
∴△BAQ∽△MAP，
∴，
∴，
当MP取得最小值时，BQ取得最小值，
当MP⊥y轴时，MP取得最小是3，此时BQ取得最小值，此时P为（0，1），
故答案为（0，1），3．
【点评】本题考查了“一定一动”类型的线段最值问题，构造旋转相似图，形成二次相似，转化所求的线段最值问题，是本题的关键．
8．（拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 2019 ．
【分析】因为a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据条件得a2﹣a＝1，然后整体代入求值是解题的关键．
9．（大石桥市期末）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣10x+3＝0的解为 x1＝3，x2＝，x3＝ ．
【分析】根据题例，把方程x3﹣10x+3＝0先转化为x3﹣（9+1）x+3＝0的形式，再求解．
【解答】解：x3﹣10x+3＝0，
x3﹣（9+1）x+3＝0，
x3﹣9x﹣x+3＝0，
x（x2﹣9）﹣（x﹣3）＝0，
x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0．
∴x﹣3＝0或x2+3x﹣1＝0．
解方程x﹣3＝0得x1＝3．
解方程x2+3x﹣1＝0得
x2＝，x3＝．
故答案为：x1＝3，x2＝，x3＝．
【点评】本题考查了高次方程和一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键．
10．（南溪区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
11．（达川区期中）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ 7 ．
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，也考查了一元二次方程的解．
12．（大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 3 ．
【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（金牛区校级模拟）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 x3＝0，x4＝﹣3 ．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
14．（桥西区校级期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
三．解答题（共16小题）
15．（上思县期末）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；
（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．
【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；
（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，
∴△ABC的周长为6+6+2＝14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
16．（恩施市期末）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【解答】解：
（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，
∴；
（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，
∵，
∴，
∴x1＞0，
又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，
∴x2＞0，
当时，有，
即﹣＝＝，
∴4k﹣11＝3，
∴，
∴存在实数，使得．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，用k表示出判别式、表示出两根是解题的关键．
17．（零陵区期末）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．
（1）试确定m的取值范围；
（2）当+＝﹣1时，求m的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，
解得m＞﹣；
（2）∵α，β是方程的两个实数根，
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．
∵+＝﹣1，
∴﹣（2m+3）＝﹣m2，
解得m1＝3，m2＝﹣1．
∵m＞﹣，
∴m＝3．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解答此题的关键．也考查了根的判别式．
18．（临江市期末）已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值．
【分析】设这两个方程的根分别为a和﹣a，把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0①；再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0②，①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0，解方程即可求出m的值．
【解答】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a．
把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0①；
再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0②，
①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0，解得m＝3或m＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
19．（新田县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，即可得出a2＝b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；等边三角形的三边相等等．
20．（庄浪县期末）若x2﹣2x+10+y2+6y＝0，求（2x﹣y）2的值．
【分析】首先根据完全平方公式可得x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0，进而得到（x﹣1）2+（y+3）2＝0，再根据偶次幂的性质可得x﹣1＝0，y+3＝0，求得x、y，再代入求得答案即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+10+y2+6y＝0，
∴x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
∴x＝1，y＝﹣3，
∴（2x﹣y）2＝（2+3）2＝25．
【点评】此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
21．（杨浦区校级期中）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ﹣1 ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；
（2）利用一元二次方程根的意义将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论；
（3）分别计算α2+β2与α2•β2的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，
∴β＝1﹣α＝1﹣＝，
∴t＝αβ＝×＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（2）∵α＝为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴α2﹣α﹣1＝0．
∴α2＝1+α．
∴α6＝（α2）3
＝（1+α）3
＝1+3α+3α2+α3
＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）
＝1+3α+3+3α+α+α2
＝1+3α+3+3α+α+1+α
＝8α+5．
∴α6+8β
＝8α+5+8β
＝8（α+β）+5
＝8×1+5
＝13．
（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，
α2•β2＝（αβ）2＝1，
∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键．
22．（东至县期末）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2019年五一长假期间，接待游客达209万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达2.88万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（沙坪坝区校级期末）阅读材料1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2，当a＝b时取等号）．
阅读材料2：若y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知x+≥2，所以当x＝，x＝，y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x＝ 2 时，x++1取得最小值，且最小值为 5 ；
（2）已知y1＝x+1（x＞﹣1），y2＝x2+2x+10（x＞﹣1），求的最小值；
（3）某大学学生会在5月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入640元；二是参加活动的同学午餐费每人15元；三是其他费用，其中，其他费用等于参加活动的同学人数的平方的0.1倍，求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入＝支出总费用/参加活动的同学人数）
【分析】（1）由题意求出最小值，即可求出+1的最小值；
（2）把y1、y2代入化成（x+1）+的形式，即可求出最小值；
（3）设参加活动的同学人数为x，人均投入为，化成15+0.1（x+）的形式，即可求出答案．
【解答】（1）解：由题意得，当x＝即x＝2时，有最小值为2＝4，
∴+1的最小值为5，
故答案为2，5；
（2）解：∵y1＝x+1（x＞﹣1），y2＝x2+2x+10（x＞﹣1），
∴＝＝，
∴当x+1＝即x＝2时，有最小值为2＝6，
∴有最小值为6；
（3）解：设参加活动的同学人数为x，
∴人均投入为：＝15+0.1（x+），
∴当x＝即x＝80时，有最小值为2＝160，
∴最低费用是15+0.1×160＝31（元），
∴当参加活动的同学人数为80时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是31元．
【点评】本题为阅读理解，考查了配方法的应用，要正确理解题意，会把题目化成公式中完全平方的形式，利用完全平方的非负性质解决问题．
24．（邗江区期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
25．（廉江市期末）益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价．建立等量关系．
【解答】解：依题意（a﹣21）（350﹣10a）＝400，
整理得a2﹣56a+775＝0，解得a1＝25，a2＝31．
因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2＝31不合题意，舍去．
所以350﹣10a＝350﹣10×25＝100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
【点评】解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意．
26．（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2满足2x1＝|x2|+1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0
解得m≤．
答：m的求值范围为m≤．
（2）根据根与系数的关系：
x1+x2＝3，x1•x2＝m﹣2，
∵x1，x2满足2x1＝|x2|+1，
①当x2≥0时，2x1＝x2+1
把x2＝3﹣x1代入，得
2x1＝3﹣x1+1
解得x1＝，
∴x2＝，
∴m﹣2＝x1•x2＝
∴m＝．
②当x2＜0时，2x1＝﹣x2+1
∴2x1+3﹣x1＝1
解得x1＝﹣2，x2＝5，
∵2x1＝|x2|+1，
∴x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去）
答：m的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．
27．（市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝≥10%，列方程可得结论；
（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售m%，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：≥10%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝6，m2＝﹣1（舍）．
【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．
28．（市南区期中）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，
解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
29．（十堰期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则
×（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则
×（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
△＝25﹣32＝﹣7＜0，
所以，此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
30．（阳信县期末）先阅读后解题．
已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．
解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．
即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．
因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．
所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．
【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x和y的值；
（2）同理可得a和b的值，再由三角形的三边关系可得c的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1；
（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，
（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，
（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，
∴a＝6，b＝4，
∵△ABC为等腰三角形，
∴c＝4或6．
【点评】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．