初中浙教版2.1 一元二次方程课时作业

这是一份初中浙教版2.1 一元二次方程课时作业，共13页。
A．y2﹣y﹣2＝0B．y2+5y﹣2＝0C．y2﹣y﹣1＝0D．y2﹣2y﹣1＝0
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），将原方程化简即可．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
∴y2+2y﹣2﹣3y＝0，
∴y2﹣y﹣2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于简单题，注意一元二次方程的二次项系数不能为0．
2．（海陵区期末）方程x2＝4的解是（ ）
A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．（武昌区校级期末）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36B．50C．28D．25
【分析】根据题意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（仙居县期末）用配方法解方程x2+1＝8x，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝15B．（x+4）2＝17C．（x﹣4）2＝15D．（x﹣4）2＝17
【分析】先移项得到x2﹣8x＝﹣1，然后进行配方得到（x﹣4）2＝15，据此选项正确选项．
【解答】解：∵x2+1＝8x，
∴x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16﹣16＝﹣1，
∴（x﹣4）2＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤，此题难度一般．
5．（营口期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4
【分析】在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝4，
配方得（x﹣1）2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（荔湾区期末）某超市销售一种饮料．平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（ ）
A．（12﹣x）（100+20x）＝1400B．（12+x）（100+20x）＝1400
C．（12﹣x）（100﹣20x）＝1400D．（12+x）（100﹣20x）＝1400
【分析】设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12﹣x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，根据每天销售饮料获得的利润＝每箱的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12﹣x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，
依题意，得（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（上城区自主招生）方程x3﹣2x2＝1的实数根的情况是（ ）
A．仅有一正根B．仅有一负根
C．一正根一负根D．无实数根
【分析】将方程移项可得x3＝2x2+1，根据非负数的性质可得，方程右边一定大于等于1，再根据立方根的定义即可解答．
【解答】解：移项得x3＝2x2+1，
∵2x2≥0，
∴2x2+1≥1，
即x3≥1，
∴x≥1，
函数y＝x3与函数y＝2x2+1只有一个交点，
∴方程x3﹣2x2＝1只有一个正实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查非负数的性质与立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
8．（拱墅区校级月考）方程＝5﹣x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝8C．x1＝3，x2＝8D．x1＝3，x2＝﹣8
【分析】方程两边进行平方即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验即可．
【解答】解：两边平方，得x+1＝x2﹣10x+25，
即x2﹣11x+24＝0，
（x﹣3）（x﹣8）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣8＝0，
解得：x＝3或8．
检验：当x＝3时，左边＝2，右边＝2，则左边＝右边，则x＝3是方程的解；
当x＝8时，左边＝3，右边＝﹣3，则x＝8不是方程的解．
所以原方程方程的解是x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
9．（仙居县校级月考）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+5y＝3B．ax2+bx+c＝0C．2x2+3x＝0D．x2+3x﹣2＝x2
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；
B．xy+1＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．整理后得3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
10．（黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．﹣3
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
11．（慈利县期末）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝10
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
12．（浦江县期末）已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则＝（ ）
A．B．2C．3D．9
【分析】将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2可得出6（）2+2021+3＝0，由xy≠1，可得出，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出的值．
【解答】解：当x＝0时，方程左边＝6≠0，
∴x≠0．
将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+2021+3＝0．
∵xy≠1，即y≠，
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
13．（余姚市期末）已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．方程一定有实数根
B．当m取某些值时，方程没有实数根
C．方程一定有两个实数根
D．方程一定有两个不相等的实数根
【分析】根据定义的公式化简x※（mx）＝﹣1解题即可．
【解答】解：∵a※b＝ab+a+b，
∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1，
由mx2+（m+1）x＝﹣1得
mx2+（m+1）x+1＝0，
①若m＝0，解得：x＝﹣1，
②若m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，
∴方程一定有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别情况，关键是从定义出发得出一元二次方程进行根的判断．
14．（仙居县期末）某服装店在“元旦”期间搞促销活动，一款服装原价400元，连续两次降价a%后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（ ）
A．400（1+a%）2＝225B．400（1﹣2a%）＝225
C．400（1﹣a%）2＝225D．400（1﹣a20%）＝225
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分数）2，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：400（1﹣a%）2＝225，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝21
【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x（x﹣1）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．
二．填空题（共8小题）
16．（南沙区期末）若方程mx2+3x﹣4＝3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠3 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：把方程mx2+3x﹣4＝3x2转化成一般形式，（m﹣3）x2+3x﹣4＝0，（m﹣3）是二次项系数不能为0，即m﹣3≠0，得m≠3．
故答案为：m≠3．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
17．（嵊州市期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 1（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜，
所以当m取1时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
18．（海曙区期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】利用根与系数之间的关系求解
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
19．（余姚市期末）某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 400（1﹣x）2＝288 ．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1﹣x）2＝288．
故答案为：400（1﹣x）2＝288．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（南海区月考）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为 100（1﹣x）2＝81 ．
【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（永嘉县校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6且k≠0 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4k×（﹣）＝16+k≥0，且k≠0，
解得：k≥﹣6且k≠0，
故答案为：k≥﹣6且k≠0．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确解不等式是解题关键．
22．（浦东新区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为 3 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（襄城区模拟）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 8 队参赛．
【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：＝28．
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
三．解答题（共7小题）
24．（婺城区校级期末）解方程：
（1）x2＝4x（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．
【分析】（1）根据因式分解的方法解方程即可；
（2）根据公式法解方程即可．
【解答】（1）x2＝4x，
解：x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
代入求根公式，得：，
∴，．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
25．（罗湖区校级期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+16＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣10x+16＝0，
∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，
∴x＝2或x＝8．
（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
26．（婺城区校级期末）如图，小华要为一个长3分米，宽2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？
【分析】设小华添加的边框的宽度应是x分米，根据边框面积与电子小报内容所占面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设小华添加的边框的宽度应是x分米，
依题意，得：（3+2x）（2+2x）﹣3×2＝3×2，
整理，得：2x2+5x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：小华添加的边框的宽度应是分米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（定海区模拟）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x＝﹣…第四步
小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程．
【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．
【解答】解：小明的解法从第一步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）＝0，
x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，
x（﹣5x+16）＝0，
解得：x1＝0，．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
28．（杭州期中）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．
（1）x的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？
【分析】（1）一轮转发之后有（x+1）人参与，两轮转发之后有（1+x+x2）人参与，根据经过两轮转发后共有111个人参与了本次活动，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）分别求出三轮转发及四轮转发之后参与活动的人数，将其与10000比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：1+x+x2＝111，
整理，得：x2+x﹣110＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
答：x的值为10．
（2）三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000＝1111（人），
四轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000＝11111（人）．
∵11111＞10000，
∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（丽水模拟）解方程：x2+2x+3﹣＝0．
【分析】设＝y，则原方程即可转化为关于y的方程，解方程求得y的值，然后转化为关于x的方程，从而求解．
【解答】解：设＝y，则x2+2x＝y2﹣5，
则原式即：y2﹣y﹣2＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣1（舍去），
则x2+2x＝4﹣5，即（x+1）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．
【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
30．（台州）x3﹣3x2+2x＝0．
【分析】应先提取公因式x，再进行因式分解．
【解答】解：原方程变形得：x（x2﹣3x+2）＝0，
x（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴方程的根为：x1＝0、x2＝1、x3＝2．
【点评】本题用到的知识点为：几个数相乘得0，那么其中的任何一个都可能为0．