最新中考数学二轮核心考点专题训练 专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧

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1、明确模拟练习的目的。检测知识的全面性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。平时如考试，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）
专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
典例剖析+变式训练
类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例1 （大城县校级四模）设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，则m2−n2mn的值等于（ ）
A．23B．3C．6D．3
思路引领：由m2+n2＝4mn得（m﹣n）2＝2mn、（m+n）2＝6mn，根据m＞0、n＞0可得m﹣n=2mn、m+n=6mn，代入到m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn计算可得．
解：∵m2+n2＝4mn，
∴m2﹣4mn+n2＝0，
∴（m﹣n）2＝2mn，（m+n）2＝6mn，
∵m＞0，n＞0，
∴m﹣n=2mn，m+n=6mn
则m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn=6mn⋅2mnmn=23，
故选：A．
总结提升：本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n、m﹣n的值是关键．
变式训练
1．（达州中考）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则mn+n+1n的值为 ．
思路引领：将n2+2n﹣1＝0变形为1n2_2n−1＝0，据此可得m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+1n=2，代入mn+n+1n=m+1+1n可得．
解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+2n−1n2=0．
∴1n2−2n−1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠1n．
∴m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+1n=2．
∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝ ．
思路引领：首先由已知可得2a﹣3b＝﹣1，将2a﹣3b＝﹣1代入6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1即可．
解：∵2a﹣3b+1＝0，
∴2a﹣3b＝﹣1，
∴6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键．
3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：
已知实数a、b满足a+b＝8，ab＝15，且a＞b，求a﹣b的值．
解：因为a+b＝8，ab＝15，
所以：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×15＝4因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以a﹣b＝2．
请利用上面的解法，解答下面的问题．
已知实数x满足x−1x=8，且x＜0，求x+1x的值．
思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出x2+1x2=10，进而求出答案．
解：∵x−1x=8，
∵（x−1x）2＝8，
∴x2+1x2−2＝8，
∴x2+1x2=10，
∴（x+1x）2＝x2+1x2+2＝12，
∴x+1x=±23，
∵x＜0，
∴x+1x=−23．
总结提升：此题主要考查了完全平方公式应用，得出x2+1x2的值是解题关键．
类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 ．
思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣2
＝m2+2m﹣2+4m﹣2
＝m2+6m﹣4
＝m2+6m+9﹣13
＝（m+3）2﹣13，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣13≥3，即代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于3．
总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
变式训练
1．（2022•蓝山县校级开学）若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 ．
思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解．
解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1，
则（m﹣1）2+（n﹣1）2
＝m2+n2﹣2（m+n）+2
＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2
＝4a2﹣4a，
＝4（a−12）2﹣1，
∵a≥1，
∴a＝1时，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为0．
故答案为0．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了二次函数的最值问题．
2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意上述等式成立，
∴a+1=−1a+b=3解得：a=−2b=5．
∴x2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
（1）将分式x2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式2x2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
思路引领：（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用题干中的方法将分式2x2−x−12x−3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
解：（1）由分母x﹣1，可设x2+5x﹣4＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+5x﹣4，
＝x2+ax﹣x﹣a+b，
＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−1=5−a+b=−4，
解得：a=6b=2，
∴x2+5x−4x−1，
=(x−1)(x+6)+2x−1，
＝x+6+2x−1．
故答案为：x+6+2x−1．
（2）由分母x﹣3，可设2x2﹣x﹣12＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2﹣x﹣12，
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b，
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−6=−1−3a+b=−12，
解得a=5b=3；
∴2x2−x−12x−3，
=(x−3)(2x+a)+bx−3，
=(x−3)(2x+5)+3x−3，
＝2x+5+3x−3，
∵x为整数，分式2x2−x−12x−3的值为整数，
∴3x−3为整数，
∴x＝4或6或0或2．
总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键．
类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围
典例3（2021•杭州三模）已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0
（1）用含x的代数式分别表示a，b；
（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．
思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案；
（2）利用a≤4＜b得出关于x的不等式求出答案．
解：（1）由2a﹣3x+1＝0，得a=3x−12，
由3b﹣2x﹣16＝0，得b=2x+163；
（2）∵a≤4＜b，
∴a=3x−12≤4，b=2x+163＞4，
解得：﹣2＜x≤3．
总结提升：此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．
变式训练
4．平面直角坐标系中，已知点（a，b）在双曲线上，且满足，，，求k的取值范围。
答案：0