山东省临沂市沂水县第四实验中学（第六实验小学）2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：159万；
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可．
【详解】解：
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
4. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
6. 如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A. 该函数的最大值为7B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，对应的函数值D. 当和时，对应的函数值相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【详解】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息．
7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
8. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
依题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9. 如图，矩形在以为原点的平面直角坐标系中，且它的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与相交于点，若且的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
∴，
，
、在反比例函数的图象上，
，
设的坐标为，
，
，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
10. 如图，抛物线的对称轴为，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④若，，是该抛物线上的三点，则；⑤（为实数）．其中正确结论的序号有（ ）
A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①②③⑤D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
根据抛物线的对称轴可对结论①进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出抛物线与y轴交点的位置，进而可对结论②进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出点的位置，进而可对结论③进行判断；根据抛物线的开口向下，且对称轴为直线可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，据此可对结论④进行判定；根据抛物线的对称轴可求出顶点坐标为，由此可判定为抛物线的最大值，据此可对结论⑤进行判断，进而可得出答案．
【详解】解：①∵抛物线的对称轴为，
，
，故结论①正确；
②∵抛物线的开口向下，与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，
，故结论②正确；
③对于，当时，，
∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，开口向下，
∴点在第二象限，
，
由①，
，
，即：，故结论③正确；
④∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，
，故结论④不正确．
⑤对于，当时，，当（t为实数）时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴点为抛物线的顶点，
又∵抛物线的开口向下，
∴为抛物线的最大值，
，即：，故结论⑤正确；
综上所述：正确的结论是①②③⑤．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 设与互为相反数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解．
【详解】解：∵与互为相反数
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若点在第四象限，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故答案：。
【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
13. 若是关x的方程的解，则的值为___________．
【答案】2019
【解析】
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
14. 若不等式组的解集为，则m的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
15. 如图，在直线l：上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，，则面积的最大值是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，反比例函数与一次函数综合，设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：依题意，设，则，
∴
∴
∵，
∴当时，面积的最大值是，
故答案为：．
16. 已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：
如图：过作轴，

∵
∴
∴,
同理：
∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
∴的横坐标为2023，
∵，674为偶数，
∴点在第一象限，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规律是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】（1）1；（2），当时，原式=．
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质，分别计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
由题意可知：，，，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质进行求解．
18. 【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
（1）如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
（2）如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
（3）如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
【小问1详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，
则，
∵AE=AE，
∴．
【小问2详解】
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
19. 已知二次函数．

（1）二次函数图象与轴的交点坐标是 ，轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 ．
【答案】（1），；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；
（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围．
【小问1详解】
解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
令，解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是；
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
故答案为：，；；．
【小问2详解】
解：列表：
描点，连线，如图：
；
【小问3详解】
解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
20. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
（1）求与之间函数关系式；
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
【小问2详解】



，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式．
21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．

（1）求k和n值；
（2）若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围；
（3）直接写出关于x的不等式的解集 ．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集：
（1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；
（2）根据反比例函数的增减性解答；
（3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【小问1详解】
解：当时，，
∴点B坐标为．
∵反比例函数的图象过点，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴当时，y随x值增大而减小，
∵时，时，
∴当时，；
【小问3详解】
由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为或．
22. 如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）CF=AC，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据已知条件证明，即可得；
（3）根据（2）证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可得到．
【小问1详解】
解：如图即为补全的图形；
【小问2详解】
证明：
，，
，
，
又，
，
，
又，
．
．
【小问3详解】
线段与的数量关系是．理由如下：
，
，
又，
，
，
即等腰直角三角形，
∴
∴为等腰直角三角形，
，
．
23. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过元．
（1）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（2）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
（2）总费用最少是元
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
（1）设参加此次劳动实践活动的老师有人，可得：，即可解得参加此次劳动实践活动的总人数，根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车辆，可得：，解得的范围，解得一共有3种租车方案；
（3）设学校租车总费用是元，，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
【小问1详解】
解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有人，参加此次劳动实践活动的学生有人，
根据题意得：，
解得，
，
∴师生总数为（人，
每位老师负责一辆车的组织工作，
一共租8辆车，
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
根据题意得：，
解得，
为整数，
可取3、4、5，
一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
【小问2详解】
，，
租车总费用最少时，至少租8辆车，
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
由（1）知：，
设学校租车总费用是元，
，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为（元，
答：学校租车总费用最少是2800元．
24. 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）．
（1）若．
①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
（2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【答案】（1）①4m；②，；
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像及性质，
（1）根据二次函数函数性质及题干可知本题答案；
（2）利用题意得，结合二次函数顶点坐标公式求得，再根据题意将点坐标代入即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，，
∴抛物线的顶点在直线上移动，
∵抛物线，
∴，
∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m，
∴此时抛物线与轴交点为，
∴根据对称性：，
∴该球在运行过程中离地面的最大高度为；
②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，
∴由（1）知：，即：，
∴解得：，，
∴该球运行路线的解析式为：，
∴令，则，解得：或（舍），
∴此球落地点离发球机的水平距离为；
【小问2详解】
解：若，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，
又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，
∴将代入中得：，解得：，
∴将代入中得：，解得：，
∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
租金（元/辆）