新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键．
根据最简二次根式的定义进行解题即可
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据最简二次根式的定义判断即可．
【分析】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故本选项符合题意；
D．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质．
4. 一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（ ）
A. 15B. 13C. 10D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识．由等腰三角形的性质和勾股定理，计算求解即可．
【详解】解：由等腰三角形的性质和勾股定理得，底边上的高为，
故选：D．
5. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．根据勾股定理逆定理分别计算并判断．
【详解】解：A、∵，
∴不能组成直角三角形；
B、∵，
∴不能组成直角三角形；
C、∵，
∴不能组成直角三角形；
D、∵，
∴能组成直角三角形；
故选：D．
6. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A. 斜边长为5B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为25D. 三角形的面积为20
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：有勾股定理得：斜边＝＝5，故A正确，C错误；
三角形的周长为：3＋4＋5＝12，故B错误；
三角形的面积为：×3×4＝6，故D错误．
故选A．
7. 计算×的结果是（ ）
A. 6B. 6C. 6D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式乘法法则是解题关键．直接运用二次根式乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故选：A
8. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A. 12米B. 13米C. 14米D. 15米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；由题意知，梯子的长度、梯子底端离建筑物的长度、梯子达到建筑物的高度正好构成一个直角三角形，由勾股定理即可解决．
【详解】解：13米长梯子可以达到建筑物的高度是（米）
故选：A．
9. 如图，点A表示的实数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是，故C正确．
故选：C．
10. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a．较短直角边长为b，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，根据大正方形的面积结合即可求解,解题的关键是熟练应用勾股定理以及完全平方公式.
【详解】解：∵直角三角形较长直角边长为a．较短直角边长为b，
∴小正方形的边长为
∵大正方形的面积为，
∵大正方形的面积
即小正方形的边长为，
故选：．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 若是二次根式，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】解：是二次根式，
，即，
故答案为：．
12. 计算：__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为____________
【答案】
【解析】
【分析】先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴斜边长＝
∵直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
∴斜边的高＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理及直角三角形面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解．
【详解】作轴于，则，．
则根据勾股定理，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
15. 若，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】∵
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
16. 如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是_____．

【答案】##16米
【解析】
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，

由题意得，
在直角三角形中，根据勾股定理得：（米）．
所以大树的高度是（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
三、解答题（本题共5小题，共52分．）
17. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）0 （2）5
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法法则进行计算，再合并即可；
（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【小问1详解】
原式，
；
【小问2详解】
原式，
，
；
【小问3详解】
原式，
；
小问4详解】
原式，
．
18. （1）已知，，求的值．
（2）先化简，后求值： ， 其中 ．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】（1）先求出，，，再利用求值即可；
（2）先由得，，化简得，从而得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，，
∴
（2）∵，
∴，
∴
，
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．
19. 如图，等边△ABC的边长是6.
求：（1）高AD的长；（2）这个三角形的面积.
【答案】（1）AD=；（2）面积为；
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的三线合一的性质可得D是BC的中点即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求出AD的长
（2）根据三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积
【详解】（1）等边三角形高即为中线，故D是BC的中点
∵AB=6
∴BD=3
∴AD=
（2）∵BC=6，AD=
∴等边△ABC面积=BC·AD=
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质
20. 如图，在中，是的边上的高，E为垂足且．
（1）试判断的形状，并说明理由．
（2）求的长．
【答案】（1）△ABD是直角三角形；（2）4．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由是的边上的高，利用面积桥计算即可．
【详解】解：（1）∵在中，，
根据勾股定理AB=，
∵，
∴△ABD是直角三角形；
（2）∵是的边上的高，
∴S△ABD=，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式是解题关键．
21. 为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．

（1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据；
（2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？
【答案】（1）施工人员测量是AC的距离，见解析
（2）12540元
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案；
（2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案．
【小问1详解】
施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则．
在中，，，
∴，
∴为直角三角形，且．
【小问2详解】
在中，，，
∴为直角三角形，且．
∴，
∴（元）．
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．
22. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证；
（2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可．
【小问1详解】
解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴，即．
【小问2详解】
解：当时，，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法．