专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用-备战中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

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倍长中线
类型一：直接倍长中线
△ABC中AD是BC边中线


方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

类型二：间接倍长中线
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。
延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
截长补短
常见类型及常规解题思路：
① 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。
② 可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。
截长法常规辅助线：
（1）过某一点作长边的垂线
（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法常规辅助线：
延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起
类型一：倍长中线法
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．
【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．
【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．
（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．
【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．
下而是部分证明过程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任务一：请将上述过程补充完整；
任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．
类型二：截长补短
【典例4】模型分析
当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．
问题：
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．
截长法：
在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．
补短法：
延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．
请结合右边的证明结论．求证：AB+BD＝AC．
请结合右边的【模型分析】证明结论．
求证：AB+BD＝AC．
【截长法】

【补短法】

【变式1】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．
【变式2】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．
【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE⊥DC于点E．
（1）当α＝90°时，
①求证：AE＝DE；
②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；
（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．
【变式5】【问题背景】
如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE＝EF．
【初步探索】
（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；
【问题解决】
（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
【拓展延伸】
（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E的坐标．
【典例5】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．
（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；
（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为 ．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．
【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．
（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．
①求证：∠OAF＝∠OCD；
②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；
（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．
【变式5】【问题探究】
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．
（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；
（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD＝3，求CD的长．