2022-2023学年河南省郑州市金水区一八联合国际学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市金水区一八联合国际学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. 5+4>8B. 2x−1C. 2x≤5D. 1x−3x≥0
2.图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是( )
A. 形状不变，大小可能改变B. 大小不变，形状可能改变
C. 形状和大小都不变D. 形状和大小都可能改变
3.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
4.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2， 5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 1.5，2，3
5.若a>b，则下列式子正确的是( )
A. −2023a>−2023bB. 2023a<2023b
C. 2023−a>2023−bD. a−2023>b−2023
6.在平面直角坐标系中，把点(2,3)向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是( )
A. (3,1)B. (0,4)C. (4,4)D. (1,1)
7.下列四张图形中，△ABC经过旋转之后不能得到△A′B′C′的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，在长50米，宽40米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，路宽均为1米，剩余部分均种植花草，则道路的面积是( )
A. 50平方米
B. 40平方米
C. 90平方米
D. 89平方米
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A. 6
B. 4 3
C. 3 3
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.a与2的差不大于0，用不等式表示为______．
12.“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，这个定理的逆定理是______
13.已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足|x−4|+(2x−y)2=0，则三角形的周长为______．
14.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形______个.
15.如图，在△ABC中，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，阴影部分面积为4，则AB= ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式(组)；
(1)5x−1>3(x+1)；
(2)2x−13≥1①4x−5<3x+2②．
17.(本小题8分)
如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是______．
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是______．
(3)当x为何值时，y1≤y2？
(4)当x为何值时，018.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)在网格的格点中，以AB为边画一个△ABC，使三角形另外两边长为 10、 13；
(2)若点P在图中所给网格中的格点上，△APB是等腰三角形，满足条件的点P共有______个；
(3)若将线段AB绕点A顺时针旋转90°，写出旋转后点B的坐标______．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是______．
(2)连接MB，若AB=8cm，BC=6cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，直接写出△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
20.(本小题8分)
某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．
(1)求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？
21.(本小题8分)
如图，BD是△ABC的角平分线，DE/​/BC，交AB于点E．
(1)求证：DE=BE；
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
22.(本小题8分)
(1)如图1，△ABE和△CDE均为等腰直角三角形，且点A在CD上，连接BD，则线段BD与AC的关系是______．
(2)如图2，BD是△ABC的高，且BD=AC，以AB为底边向右作等腰直角△ABE，连接CE、DE，判断△CDE的形状，并说明理由．
(3)如图2，在(2)的条件下，连接BC，若△BEC的面积是 3，请直接写出△ADE的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不含有未知数，错误；
B、不是不等式，错误；
C、符合一元一次不等式的定义，正确；
D、分母含有未知数，是分式，错误．
故选：C．
根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
2.【答案】C
【解析】解：∵图形经过平移、旋转或翻折运动后，其形状和大小都不改变，
∴选项C正确，其余选项错误，
故选：C．
根据平移、旋转、翻折的性质作答，即平移、翻折和旋转都不改变图形的形状和大小，只是位置发生变化．
本题考查了平移、旋转、翻折的特征．图形在平移、旋转、翻折变化过程中，图形的形状和大小不变，即变换前后图形的对应边相等，对应角相等
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．
本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、12+22=( 5)2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵a>b，
∴−2023a<−2023b，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴2023a>2023b，故本选项不符合题意；
C.∵a>b，
∴−a<−b，
∴2023−a<2023−b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a−2023>b−2023，故本选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：∵点(2,3)向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是2−2=0，
纵坐标是3+1=4，
∴所得点的坐标是(0,4)．
故选：B．
根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7.【答案】D
【解析】解：A、旋转中心是CC′的中点，旋转角度是180度，能得到；
B、旋转中心是点C，旋转角度是180度，能得到；
C、旋转中心是点O，旋转角度是∠COC′，能得到；
D、是轴对称的关系，旋转不能得到．
故选：D．
能构成旋转的条件是有旋转中心，旋转角．轴对称关系不属于旋转．
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．准确地找到对称中心和旋转角是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查坐标与图形的变化−平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．
【解答】
解：由点A(2,0)的对应点A1(4,b)知向右平移2个单位，
由点B(0,1)的对应点B1(a,2)知向上平移1个单位，
∴a=0+2=2，b=0+1=1，
∴a+b=3，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：长50米，宽40米的长方形地块的面积为50×40=2000(平方米)，
草坪的面积为(50−1)×(40−1)=1911(平方米)，
路的面积为2000−1911=89(平方米)，
故选：D．
求出整块地的面积和草坪面积，再求差即可．
本题考查生活中的平移现象，理解平移后路的面积与草坪面积之间的关系是正确计算的前提．
10.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选：A．
利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出AB′=B′C=2是解题关键．
11.【答案】a−2≤0
【解析】解：由题意，用不等式表示为a−2≤0，
故答案为：a−2≤0．
根据差运算，不大于的定义列出不等式即可．
本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于”是指“小于或等于”是解题的关键．
12.【答案】到角的两边距离相等的点在角的平分线上
【解析】解：角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题是到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
本题须根据命题与定理的有关知得出逆定理即可．
本题主要考查了命题与定理的有关知识，在解题时要能对每一题的逆命题进行正确判断是本题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：根据题意得x−4=0，2x−y=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20．
所以三角形的周长为20．
故答案为：20．
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
14.【答案】3
【解析】解：(1)∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB=180°−60°−90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF，
即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−60°−45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案为：3．
根据在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=75°，然后可得等腰三角形．
本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高、角平分线，等腰三角形的判定、等边三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．
15.【答案】4
【解析】解：过A作AD⊥A1B于D，
在△ABC中，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB，S△A1BC1=S△ABC，
∵∠A1BA=30°，
∴AD=12AB，
∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC=S△A1BA，阴影部分面积为4，
∴12A1B⋅AD=4，
∴12AB⋅12AB=4，
∴AB=4，
故答案为：4．
根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB，依据∠A1BA=30°得到AD=12AB，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC=S△A1BA，得到12A1B⋅AD=4，即12AB⋅12AB=4，求得AB=4．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
16.【答案】解：(1)5x−1>3(x+1)，
5x−3x>4，
2x>2，
x>1；
(2)2x−13≥1①4x−5<3x+2②．
由①得x≥2，
由②和x<7，
∴2≤x<7．
【解析】(1)根据不等式的性质解一元一次不等式．
(2)根据同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，来进行计算即可．
本题考查了一元一次不等式组和解一元一次不等式，解题的关键是根据计算方法来解答．
17.【答案】(1)x<4；
(2)x<0；
(3)由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是(2,18)，当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，
所以当x≤2时，y1≤y2；
(4)如图所示，当2【解析】解：(1)∵直线y2=ax+b与x轴的交点是(4,0)，
∴当x<4时，y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4；
故答案是：x<4；
(2)∵直线y1=mx+n与y轴的交点是(0,1)，
∴当x<0时，y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0；．
故答案是：x<0；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)利用直线y=ax+b与x轴的交点为(4,0)，然后利用函数图象可得到不等式kx+b>0的解集．
(2)利用直线y=mx+n与x轴的交点为(0,1)，然后利用函数图象可得到不等式mx+n<1的解集．
(3)结合两条直线的交点坐标为(2,18)来求得y1≤y2解集．
(4)结合函数图象直接写出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示；
(2)4
(3)(3,1)
【解析】(1)根据网格结构和勾股定理确定出点C的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构确定出到点A、B的距离等于AB的长度的点的位置即可；
(3)根据网格结构找出点B绕点A顺时针旋转90°，然后根据平面直角坐标系写出点B对应的点的坐标即可．
本题考查了利用旋转变换作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】50°
【解析】解：(1)∵∠B=70°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=40°，
∵∠ANM=90°，
∴∠NMA=90°−∠A=50°，
故答案为：50°；
(2)如图，
①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
∴BM+CM=AM+CM=AC=AB=8cm，
∵BC=6cm，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AC+BC=8+6=14cm，
②△BPM周长的最小值是14cm.理由如下：
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP≥AC，
当点A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，PB+CP=AP+CP=AC=8cm的值最小，
∴△BPC周长的最小值是8+6=14cm，
(1)根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
(2)根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
本题考查了轴对称，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，关键是应用线段垂直平分的性质解题．
20.【答案】解：(1)设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，
依题意得：x+4y=1355x+2y=225，
解得：x=35y=25．
答：每本手绘纪念册的价格为35元，每本图片纪念册的价格为25元．
(2)设可以购买手绘纪念册m本，则购买图片纪念册(40−m)本，
依题意得：35m+25(40−m)≤1100，
解得：m≤10．
答：最多能购买手绘纪念册10本．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，根据“购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买手绘纪念册m本，则购买图片纪念册(40−m)本，根据总价=单价×数量，结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
21.【答案】(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠ABD，
∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE；
(2)解：CD=ED，
理由：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DE/​/BC，
∴∠C=∠ADE，∠ABC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴CD=BE，
由(1)知：DE=BE，
∴CD=ED．
【解析】(1)根据角平分线的定义和平行线的性质，可以得到∠EDB=∠ABD，然后即可得到DE=BE；
(2)根据AB=AC和等腰三角形的性质、平行线的性质，可以得到CD和ED的关系．
本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】BD=AC，BD⊥AC
【解析】解：(1)∵△ABE和△CDE均为等腰直角三角形，
∴BE=AE，DE=CE，∠AEB=∠CED=90°，∠C=∠CDE=45°，
∴∠AEB−∠AED=∠CED−∠AED，
即∠BED=∠AEC，
在△BDE和△ACE中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=CE，
∴△BDE≌△ACE(SAS)，
∴BD=AC，∠BDE=∠C=45°，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=45°+45°=90°，
∴BD⊥AC，
即线段BD与AC的关系是BD=AC，BD⊥AC，
故答案为：BD=AC，BD⊥AC；
(2)△CDE是等腰直角三角形，理由如下：
∵△ABE是AB为底边向右作等腰直角三角形，
∴BE=AE，∠AEB=90°，
∴∠DBE=90°−∠BOE，
∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAE=90°−∠AOD，
∵∠BOE=∠AOD，
∴∠DBE=∠CAE，
在△BDE和△ACE中，
BD=AC∠DBE=∠CAEBE=AE，
∴△BDE≌△ACE(SAS)，
∴DE=CE，∠BED=∠AEC，
∴∠AEC−∠AED=∠BED−∠AED，
即∠DEC=∠AEB=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形；
(3)如图2，过点C作CM⊥BE交BE的延长线于点M，过点D作DN⊥AE于点N，
则∠DNE=∠CME=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠AEM=90°，
由(2)可知，DE=CE，∠DEC=90°，
∴∠AEM=∠DEC，
∴∠AEM−∠DEM=∠DEC−∠DEM，
即∠DEN=∠CEM，
在△DEN和△CEM中，
∠DNE=∠CME∠DEN=∠CEMDE=CE，
∴△DEN≌△CEM(AAS)，
∴DN=CM，
∵S△ADE=12AE⋅DN，S△BEC=12BE⋅CM，
∴S△ADE=S△BEC= 3，
即△ADE的面积为 3．
(1)证明△BDE≌△ACE(SAS)，得BD=AC，∠BDE=∠C=45°，再证明∠BDC=∠BDE+∠CDE=90°，得出BD⊥AC，即可得出结论；
(2)证明△BDE≌△ACE(SAS)，得DE=CE，∠BED=∠AEC，再证明∠DEC=∠AEB=90°，即可得出结论；
(3)过点C作CM⊥BE交BE的延长线于点M，过点D作DN⊥AE于点N，证明△DEN≌△CEM(AAS)，得DN=CM，再证明S△ADE=S△BEC= 3即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．