2024天水一中高一下学期4月月考试题数学含解析

这是一份2024天水一中高一下学期4月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：林永强 审核：高路
（满分：150分，时间：120分钟）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1 若向量，则（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
2. 已知是夹角为的单位向量,则（ ）
A. B. C. D.
3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A. 150B. 180C. 200D. 250
4. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A 92B. 91C. 90D. 89
6. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A. B. C. D.
7. 已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（ ）
A. B. C. D. 与的大小关系无法判断
8. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B. 环比涨跌幅的平均数为0.1%
C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55%
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若向量与向量共线，则
C. 与共线的单位的量的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
11. 在中，，，，是外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（ ）
A. B.
C. 的外接圆的面积为D.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知两个单位向量满足则的夹角为______
13. 在中，，，则________．
14. 如图，已知直线是之间的一个定点，点到的距离分别为是直线上一个动点，过点作，交直线于点，平面内动点满足，则面积的最小值是__________.
四、解答题（共5小题，共77分）
15. 平面内给定三个向量，.
（1）求满足的实数和；
（2）若，求实数.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）若，，求c；
（2）若的面积为，，求a．
17. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市名跑步爱好者平均每周的跑步量简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：

（1）补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数精确到；
（3）根据跑步爱好者周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：
根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格.
18. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
19. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．周跑量千米
人数
周跑量千米
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格元
天水一中高一级2023－2024学年度第二学期第一次段中检测
数学试题
命题：林永强 审核：高路
（满分：150分，时间：120分钟）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若向量，则（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解.
【详解】依题意得，即.
故选：D.
2. 已知是夹角为单位向量,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量数量积公式求解即可.
【详解】由题意得,是夹角为,
则.
故选:D.
3. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A. 150B. 180C. 200D. 250
【答案】A
【解析】
【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.
【详解】由题意样本容量为.
故选：A
4. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根距离向量的线性运算，得到，结合，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
因为为边上的中线，可得，所以，
所以.
故选：A.

5. 在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A. 92B. 91C. 90D. 89
【答案】C
【解析】
【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解.
【详解】由题意，总样本平均数为.
故选：C.
6. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
7. 已知数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则（ ）
A. B. C. D. 与的大小关系无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】利用方差与均值的关系，结合方差公式即可判断的大小.
【详解】由题设，，即，
∴，，即有.
故选：C.
8. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分别求出、即可求解作答.
【详解】因的外接圆圆心为O，，，由圆的性质得，
有，同理，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积的方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差B. 环比涨跌幅的平均数为0.1%
C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差D. 同比涨跌幅的上四分位数为1.55%
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】选项A中：环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的平均数为，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 若向量与向量共线，则
C. 与共线的单位的量的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，利用夹角公式即可直接求解；选项B，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D，利用投影向量的公式即可直接求解.
【详解】，故A正确；
若向量与向量共线，
则存在实数使得，
所以，解得，故B正确；
与共线的单位向量为，即或，故C错误；
在方向上的投影向量，故D正确.
故选：ABD
11. 在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（ ）
A. B.
C. 的外接圆的面积为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形角平分线的性质即可判断A；
先在中运用余弦定理求出BC，再在中用余弦定理求出AM，进而判断B；
由正弦定理求出外接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断C；
，由根据平面向量数量积的定义可以得到，进而通过平面向量数量积的运算解出两个未知量，然后判断D.
【详解】对A，由题意，，A正确；
对B，在中，由余弦定理可得，结合A可知，在中，由余弦定理可得，B正确；
对C，由正弦定理可知，的外接圆直径，则其外接圆面积为，C错误；
对D，设，因为点O为的外心，结合平面向量数量积的定义可知，，则，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知两个单位向量满足则的夹角为______
【答案】
【解析】
【分析】两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角.
【详解】两边平方得，
设的夹角为，
即，
因为为单位向量，所以，解得，
因为，所以.
故答案为：
13. 在中，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据长度和夹角关系，结合向量数量积定义直接求解即可.
【详解】，，
，，，
.
故答案为：.
14. 如图，已知直线是之间的一个定点，点到的距离分别为是直线上一个动点，过点作，交直线于点，平面内动点满足，则面积的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中点的中点，先由平面向量运算得到；表示出，再由几何关系得到，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.
【详解】由，得.
取的中点的中点，有，
则.
设，由于，，而，
则，由，，得，
则，当且仅当，即时取等号，
此时的面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算. 取的中点的中点，先由平面向量运算得到；表示出，再由几何关系得到，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.
四、解答题（共5小题，共77分）
15. 平面内给定三个向量，.
（1）求满足的实数和；
（2）若，求实数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出的坐标，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可；
（2）首先求出、的坐标，再根据向量垂直得到，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，又
则有，解得，
故，.
【小问2详解】
解：根据题意，，，
因为，
所以，
解得，故.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）若，，求c；
（2）若的面积为，，求a．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.
【小问1详解】
因为，，所以，
由正弦定理，可得.
【小问2详解】
因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
17. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市名跑步爱好者平均每周的跑步量简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：

（1）补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数精确到；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：
根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格.
【答案】（1）直方图见解析
（2）
（3）元
【解析】
【分析】（1）求出第二组和第四组的频率，进一步求出矩形的高即可补全频率分布直方图；
（2）根据中位数的运算法则直接求解即可；
（3）分别求出三类跑步者的人数，由此计算该市跑步爱好者购买装备的平均价格即可.
【小问1详解】
由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
【小问2详解】
由，，
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，
解得，即样本数据中位数约为；
【小问3详解】
依题意可知，被调查的人中，休闲跑者共有人，
核心跑者共有人，精英跑者共有人，
这名跑步爱好者购买装备的平均价格为（元），
所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为元.
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可.
【小问1详解】
因为向量，且，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，
又，所以；
【小问2详解】
因为，，，
由余弦定理可得，可得，解得或（舍），
所以的面积.
19. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．
【答案】（1）
（2）时，取得最小值．
【解析】
【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；
（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.
【小问1详解】
延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
【小问2详解】
是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【点睛】方法点睛：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
周跑量千米
人数
周跑量千米
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格元