2024浙江省培优联盟高一下学期4月联考数学试题含答案

这是一份2024浙江省培优联盟高一下学期4月联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知的重心为O，若向量，则，下列说法正确的是，下面四个命题中的真命题为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第六、七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A．B．0C．1D．
3．已知为无理数，为无理数，则p是q的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．若将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知的重心为O，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
7．近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则B．只有零向量的模长等于0
C．若与是平行向量，则D．向量与不共线，则与都是非零向量
10．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．复数z是实数的充要条件是B．若复数z满足，则
C．复数满足D．若复数满足，则
11．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递增D．函数是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．求值：_______．
13．在中，角的对边分别为，满足外接圆的半径为，则_______．
14．定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）向量．
（1）求；
（2）若，向量的夹角为，求t的值．
16．（15分）已知向量，函数．
（1）在中，分别为内角的对边，若，求A；
（2）在（1）条件下，，求的面积．
17．（15分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“函数”．
（1）已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）若为定义域在R上的“函数”，求实数m的取值范围．
18．（17分）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
（2）年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
19．（17分）被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．
（1）已知，求；
（2）已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．
类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）
浙江培优联盟2023学年第二学期高一4月
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A2．B3．D4．D5．B6．D7．C8．B
1．解：，选A．
2．解：由，得，又m为整数，所以，选B．
3．解：由于为无理数，但，所以．
又由于为无理数，但不全是无理数，所以．选D．
4．解：因为与互相垂直，所以，
即．又因为，
所以．因为是非零向量，所以，
所以与的夹角为，选D．
5．解：，将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为，且该函数为偶函数，故，所以的最小正值为．选B．
6．解：设E是的中点，由于O是三角形的重心，所以．，选D．
7．解：由题意得，当时，则，所以，所以，选C．
8．解：如图，设，由矩形的周长为4，可知．
设，则．
，
．
在中，由勾股定理得，即（，解得，所以．
所以的面积．
所以，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为，选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BD10．AC11．ABD
9．解：A．两个向量的模长相等，但是方向不一定相同，错误；
B．只有零向量的模长等于0，正确；
C．与是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，错误；
D．0与任何向量都是共线向量，正确．
故选BD．
10．解：A．由得，正确；
B．复数满足，但，故B为假命题，错误；
C．，满足，正确；
D．若复数满足，但，错误．
故选AC．
11．解：为奇函数，，令，可得，正确；
B．由于为偶函数，，所以的图象关于直线对称，正确；
C．为奇函数，，由，以x替换，所以关于对称，在上单调递增，所以在上单调递增，又关于直线对称，所以在上单调递减，错误；
D．由，所以，所以是周期为8的周期函数，正确．
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．314．
12．解：．
13．解：由已知，利用正弦定理，可得．
因为，所以，所以，所以，又因为，所以．从而，又外接圆的半径为，所以由正弦定理得．
14．解：当或时，，
当时，．
令，解得，
令，解得，
由，可得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1），……2分
又，解得，……4分
．……6分
（2），……8分
，……11分
解得，又因为，所以，……13分
16．解：（1）由向量，函数，
得．……4分
，即，……6分
因为，所以，……8分
从而，解得．……9分
（2）由余弦定理得，……11分
则，则．所以，……13分
所以的面积．……15分
17．解：（1）当时，，即，……2分
令，则，解得．……5分
从而有解，函数是“函数”．……6分
（2）当时，，
即，化简得．……9分
令，则，……11分
从而在上有解，
即在上有解，……13分
令，则为上的增函数，
所以，从而．……15分
18．解：（1）当时，，……3分
当时，，……6分
所以……8分
（2）当时，，当时，
取得最大值2925万元；……11分
当时，．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值2830万元．……14分
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元．……17分
19．解：（1）
……3分
．……6分
（2）由，则点，
，……8分
所以，
从而．……10分
（3）
……13分
，……15分
所以．……17分