2023-2024学年江苏省苏州市苏州吴中、吴江、相城三区九年级（上）期中数学调研试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州吴中、吴江、相城三区九年级（上）期中数学调研试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x−2=0B. x+3y=1C. x2+2x+1=0D. x2=1
2.在同一平面内；已知⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是( )
A. 点A在圆内B. 点A在圆上C. 点A在圆外D. 无法确定
3.如图，在▵ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE//BC，若AD=2，BD=3，DE=2，则BC的长是( )
A. 3B. 92C. 5D. 152
4.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120∘，点B是AC⌢的中点，则∠D的度数是
( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
5.若关于x的一元二次方程x2+2m−1x+4=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
6.如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？( )
A. 甲更稳定B. 乙更稳定C. 一样稳定D. 无法判断
7.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为( )
A. 3 32B. 2 2C. 2 3D. 83
8.如图，⊙O是▵ADB，▵BDC的外接圆，∠DBC=2∠ADB，若AB=2 5，CD=8，则⊙O的半径为( )
A. 2 5B. 5C. 112D. 3 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.方程x2=9的解是____________．
10.在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下(单位：分)：9，8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是___________．
11.一个圆锥的底面半径为3，母线长为6，其侧面积是___________．
12.如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A′B′的长度是___________米．
13.设x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个根，则x 12+3x2+3=___________．
14.如图，点E是▵ABC的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于12FG长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K.作射线BH，射线CK，BH与CK交于点D.连接AD，连接BE，若∠CAD=38∘，则∠EBC的度数为___________ ∘．
15.如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC=45∘，点E是AF上一点，EF=10cm，点O从点E出发，以的速度沿射线EB运动．以点O为圆心， 23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为___________秒．
16.在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A2,0，B8,0，点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB=60∘.当BC最长时，点C的坐标为___________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1)x2−6x=0
(2)3xx−2=x−2
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−6x−m=0的一个根是−2，求它的另一个根和m的值．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE=2BE，AE交BD于点F．
(1)求BFDF的值；
(2)△BEF与▵ADF的面积的比为___________．
20.(本小题8分)
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长(单位：小时)的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示：
(1)这40名学生上周阅读时间的众数为___________小时，中位数为___________小时；
(2)求这40名学生上周在家阅读的 平均时长？
21.(本小题8分)
如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将▵BCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．

(1)求证：▵ABF∽▵DFE；
(2)若AB=6，BC=10，求EF的长．
22.(本小题8分)
如图，⊙O的圆心O与正三角形ABC的中心重合，已知⊙O的半径和扇形ABC的半径都是6 3．

(1)若将扇形ABC围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形ABC的弧长；
②则h的值为___________；
(2)⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为___________．
23.(本小题8分)
定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q，有m,p⊕q,n=mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：2,3⊕4,5=2×5+3×4=22．
(1)求关于x的方程x2,x−1⊕3,1=0的根；
(2)若关于x的方程x2+1,x⊕1−2k,k=0有两个实数根，求k的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是△ADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是弧AB的中点，∠ADC=∠EAC.取AD的中点F，连接BF．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若CH=2，AC=5，求BF的长．
25.(本小题8分)
为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．
(1)若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．
(2)村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？
26.(本小题8分)
已知矩形ABCD中，BC=8cm，点G是对角线AC上一点，且CG= 5cm.点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x.若▵FHG面积记为S1，△HEG面积记为S2，▵FEG面积记为S3.当点F运动到点G的正上方时，E,F两点运动停止．

(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S1与x的函数图像如图②所示，则AB的长为___________cm；
(2)如图③，点F在线段BC上运动；
①若EF=2 5cm，求此时x的值；
②若S2⋅S3=68，求此时x的值．
27.(本小题8分)
如图①所示，已知AB是⊙O的直径，点C在半径OA上，点D，点F是圆上的点，CD//OF，点E是半径OB的中点，DE与OF交于点G，连接BG，BF．

(1)如果DC⊥AB，连接OD，如图②所示：
①则∠F的度数为___________°；
②若∠DOF=∠DEC,CO=6，求线段OE的长；
(2)若OB=BG,BE=CO，求OGOF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，是解题的关键．
根据一元二次方程的定义进行判断作答即可．
【详解】解：x−2=0中最高次数为1，不是一元二次方程，故A不符合要求；
x+3y=1中未知数有2个，不是一元二次方程，故B不符合要求；
x2+2x+1=0不是 整式方程，不是一元二次方程，故C不符合要求；
x2=1是一元二次方程，故 D符合要求；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系；根据d=r时，点A在⊙O上；dr时，点A在⊙O外可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，
∴点A在圆内，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由DE//BC，可得出▵ADE∽▵ABC，再利用相似三角形的性质，即可求出BC的长．
【详解】解：∵DE//BC，
∴▵ADE∽▵ABC，
∴BCDE=ABAD=AD+BDAD，即BC2=2+32，
∴BC=5．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是AC⌢的中点，
∴∠AOB=12∠AOC=60°，
由圆周角定理得，∠D=12∠AOB=30°，
故选：A．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据一元二次方程x2+2m−1x+4=0有两个不相等的实数根得到判别式大于0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程x2+2m−1x+4=0有两个不相等的实数根，
∴(2m−1)2−4×1×4>0，
解得：m>52或m<−32，
符合题意的只有D选项，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了折线统计图的读图和方差公式，利用方差公式，分别计算甲乙的方差，再比较大小即可，掌握这些是本题解题关键．
【详解】解：s 2甲=153×8−82+9−82+7−82=0.4，
s 2乙=1510−82+7−82+8−82+6−82+9−82=2
∵s 2甲∴甲更稳定
故选：A
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了圆内接正n边形，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．如图，圆心为O，由圆的内接正八边形可知，∠AOB=360∘8=45∘，OA=OB=1，作BC⊥OA于C，则OC=BC，由勾股定理得OB= OC2+BC2，求得BC=OC= 22，则S▵AOB=12OA⋅BC= 24，根据π=S正八边形=8S▵AOB，计算求解即可．
【详解】解：如图，圆心为O，

由圆的内接正八边形可知，∠AOB=360∘8=45∘，OA=OB=1，
作BC⊥OA于C，则∠OCB=90∘，
∴∠OBC=45∘=∠COB，
∴OC=BC，
由勾股定理得OB= OC2+BC2，即1= OC2+OC2，
解得BC=OC= 22，
∴S▵AOB=12OA⋅BC=12×1× 22= 24，
∴S正八边形=8S▵AOB=2 2，
∴π=S正八边形=2 2，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识．连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出DE，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，

则∠DOE=12∠DOC,DF=12CD=4，
∵∠DBC=2∠ADB，
∴∠DOC=2∠AOB，
∴∠DOE=∠AOB，
∴DE=AB=2 5，
∴EF= DE2−DF2=2，
设⊙O的半径为r,
在Rt▵ODF中，OD2=DF2+OF2，即r2=42+r−22，
解得：r=5，
故选：B．
9.【答案】x=±3
【解析】【分析】把方程两边开方得到x=±3即可求解．
【详解】解：x2=9，
开方得：x=±3，
故答案为：x=±3．
本题考查了平方根：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的方程可采用开平方的方法求解．
10.【答案】2
【解析】【分析】本题考查极差的定义，根据数据中最大值与最小值之差叫极差即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
9−7=2，
故答案为 ：2．
11.【答案】18π
【解析】【分析】此题考查圆锥侧面积公式：πRr(R是母线长，r是底面圆的半径)，根据公式直接求圆锥的侧面积，熟记公式是解题的关键．
【详解】解：此圆锥的侧面积是π×6×3=18π
故答案为：18π．
12.【答案】72
【解析】【分析】本题考查了相似三角形应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意知，▵AOB∽▵A′OB′，则ABA′B′=0.77，即0.35A′B′=0.77，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，▵AOB∽▵A′OB′，
∴ABA′B′=0.77，即0.35A′B′=0.77，
解得，A′B′=72，
故答案为：72．
13.【答案】11
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的解，根据x1+x2=−ba，x1x2=ca代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个根，
∴x 12−3x1+1=0，x1+x2=−−31=3，
∴x 12+3x2+3=x 12−3x1+3x1+3x2+3=2+3×3=11，
故答案为：11．
14.【答案】14
【解析】【分析】根据作图得出BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，根据三角形角平分线的特点得出AD平分∠BAC，根据点E是▵ABC的外心，得出AE=CE=BE，根据等边对等角得出∠BAE=∠ABE，∠CAE=∠ACE，∠CBE=∠BCE，求出∠ABE+∠ACE=∠BAE+∠CAE=76∘，根据等腰三角形内角和定理得出∠CBE+∠BCE=28∘，最后求出结果即可．
【详解】解：连接AE、CE，如图所示：

根据作图可知，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD=38∘，
∴∠BAC=2∠CAD=76∘，
∵点E是▵ABC的外心，
∴AE=CE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，∠CAE=∠ACE，∠CBE=∠BCE，
∴∠ABE+∠ACE=∠BAE+∠CAE=76∘，
∴∠CBE+∠BCE=180∘−∠ABE+∠ACE+∠BAE+∠CAE
=180∘−76∘−76∘
=28∘，
∴∠CBE=∠BCE=12×28∘=14∘．
故答案为：14．
本题主要考查了外心的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握“等边对等角”．
15.【答案】6或30
【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，根据切线的性质得到OH= 23OE，再根据等腰直角三角形的性质得到OF=23OE，则OE=10−23OE，解方程求出OE，然后计算此时t的值；当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，根据切线的性质得到O′H′= 23O′E，再根据等腰直角三角形的性质得到O′F=23O′E，则O′E=10−23O′E，解方程求出O′E，然后计算此时t的值．分两种情况，结合切线的性质定理是解决问题的关键．
【详解】解：当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，
∴OH= 23OE，
∵∠AFC=45∘，则▵OHF为等腰直角三角形，EF=10cm，
∴OF= 2OH= 2× 23OE=23OE，
∴EO=EF−OF，
∴OE=10−23OE，
解得OE=6，
此时t=61=6(秒)；

当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，
∴O′H′= 23OE′，
∵∠DFB=∠AFC=45∘，
∴O′F= 2O′H′= 2× 23O′E=23O′E，
∴EO′=EF+O′F，
∴O′E=10+23O′E，
解得O′E=30，
此时t=301=30(秒)；
综上所述，t的值为6秒或30秒．
故答案为：6或30．
16.【答案】(2,2 3)
【解析】【分析】本题考查了勾股定理及圆上定角问题，根据∠ACB=60∘得到点C在弦AB所在圆上，结合当BC为直径时最长，此时∠BAC=90∘结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵∠ACB=60∘，
∴点C在弦AB所在圆上，
∴当BC为直径时最长，
∴∠BAC=90∘，
∵∠ACB=60∘，
∴∠ABC=30∘，
∴BC=2AC，
∵A2,0，B8,0，
∴AB2=(8−2)2=36，
∴3AC2=36，
解得：AC2=12，即BC2=48，
设C(m,n)，则有：
(2−m)2+n2=12，(8−m)2+n2=48，
解得m=2，n=±2 3，
∵点C是第一象限内的一个动点，
∴C(2,2 3)，
故答案为：(2,2 3)．
17.【答案】【小问1详解】
解：原方程可化为：xx−6=0
∴原方程的解为：x1=0，x2=6；
【小问2详解】
解：原方程可化为：3x−1x−2=0
∴原方程的解为：x1=13，x2=2

【解析】【分析】此题考查解一元二次方程：
(1)利用因式分解法解方程；
(2)利用因式分解法解方程；
熟练掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键
18.【答案】解：将x=−2代入原方程得：m=16
设另一个根为t，则t−2=6，
解得：t=8，
∴m的值为16，方程的另一个根为8．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，将x=−2代入原方程得：m=16，进而设另一个根为t，根据根与系数的关系可得t−2=6，即可求解．
19.【答案】【小问1详解】
解：∵平行四边形ABCD
∴AD//BE，
∴▵ADF∽▵EBF
∵CE=2BE，
∴AD=BC=3BE
∵▵ADF∽▵EBF
∴BFDF=BEAD=13．
【小问2详解】
解：∵由(1)可知，BFDF=BEAD=13，
∴S▵BEFS▵ADF=132=19．
故答案为：19

【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质与判定
(1)根据平行四边形ABCD性质可得▵ADF∽▵EBF，由CE=2BE即可求出答案．
(2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得．
20.【答案】【小问1详解】
∵40名学生中阅读时间为7小时的 有15人，最多，
∴众数为7小时，
中位数为第20和第21名学生阅读的平均数，即6+72=6.5小时，
故答案为：7，6.5；
【小问2详解】
40名学生上周在家阅读的平均时长=10×5+10×6+15×7+5×840=6.375小时，
答：40名学生上周在家阅读的平均时长为6.375小时．

【解析】【分析】(1)利用众数及中位数的定义确定答案即可；
(2)利用平均数的计算方法求得答案即可；
本题考查了统计的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∴∠AFB+∠ABF=90∘，
由折叠的性质，可知∠AFE=∠C=90∘，
∴∠AFB+∠DFE=90∘，
∴∠ABF=∠DFE，
∴▵ABF∽▵DFE；
【小问2详解】
解：∵将▵BCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处，BC=10
∴BF=BC=10
∵AB=6，∠A=90∘．
∴AF=8
∵四边形ABCD是矩形．
∴AD=BC=10，
∵AF=8，
∴DF=2
∵▵ABF∽▵DFE，
∴ABDF=BFFE
∵AB=6，DF=2，BF=10，
∴62=10FE，
∴EF=103．

【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠问题
(1)根据矩形的性质和相似三角形的判定方法，可以证明结论成立；
(2)根据勾股定理，可以求得BF的长，再根据折叠的性质和相似三角形的性质可以得到EF的长．
22.【答案】【小问1详解】
解：①∵三角形ABC是正三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴l扇形ABC=nπR180=60π×6 3180=2 3π；
②由①得，
2πr=2 3π，
∴r= 3，
∴h= 6 32− 32= 105；
【小问2详解】
解：连接OB并延长交⊙O于点D，作OE⊥BC于E，
∵O是正三角形ABC的中心，OE⊥BC，
∴∠OBE=30∘，∠OEB=90∘，BE=12BC=3 3，
∴OB=2OE，OB是点O到三角形边上最长的线段，
∴OB2−14OB2=(3 3)2，
解得：OB=6，
∴DB=6 3−6，
故答案为：6 3−6
．

【解析】【分析】(1)①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到∠BAC=60∘，结合l=nπr180∘即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案；
(2)本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接OB并延长交⊙O于点D，作OE⊥BC即可得到DB为最小值求解即可得到答案；
23.【答案】【小问1详解】
解：∵x2,x−1⊕3,1=0，
∴x2+3x−1=0，整理得x2+3x−3=0，
∵a=1，b=3，c=−3，Δ=b2−4ac=9+12=21>0，
解得：x=−3± 212，
∴x1=−3+ 212，x2=−3− 212；
【小问2详解】
解：∵x2+1,x⊕1−2k,k=0，
∴kx2+1+1−2kx=0，整理得kx2+1−2kx+k=0，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴Δ=1−2k2−4k2≥0，k≠0，
解得，k≤14且k≠0，
∴k的取值范围为k≤14且k≠0．

【解析】【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键．
(1)由题意知，x2+3x−1=0，然后解方程即可；
(2)由题意知，kx2+1+1−2kx=0，整理得kx2+1−2kx+k=0，由关于x的方程有两个实数根，可知Δ=1−2k2−4k2≥0，k≠0，计算求解然后作答即可．
24.【答案】【小问1详解】
证明：连接BC，
∵AC⌢=AC⌢，
∴∠ADC=∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ABC+∠CAB=90∘，
∵∠ADC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC+∠CAB=90∘，
∴AE为⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接BD，
∵∠EAC=∠ABC，CH⊥AE，∠ACB=90∘，
∴▵ACH∽▵BAC
∴CHAC=ACAB，
∵CH=2，AC=5，
∴25=5AB，解得：AB=252，
∵点D是弧AB的中点，
∴AD⌢=BD⌢，
∴AD=BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴AD=BD= AB22= 22×252=25 24，
∵点F是AD的中，
∴DF=12×25 24=25 28，
∴BF= (25 24)2+(25 28)2=25 108
；

【解析】【分析】(1)连接BC，根据同弧所对圆周角相等得到∠ADC=∠ABC，结合直径所对圆周角是 直角证明∠EAC+∠CAB=90∘即可得到证明；
(2)根据点D是AB的中点，得到AD⌢=BD⌢，从而得到AD=BD，由(1)得到∠EAC=∠ABC结合三角函数得到直径，结合勾股定理即可得到答案；
本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线证明及解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到直角三角形及等角关系．
25.【答案】【小问1详解】
解：设每周游客人数的增长率为x
由题意得：1.21+x2=2.7
解得：x1=12=50%，x2=−52(舍去)，
∴每周游客人数的增长率为50%．
【小问2详解】
解：设售价提高了y元，
由题意得：2+y100−50y0.5=3200
∴y2−8y+12=0，
解得：y1=2，y2=6
∵2+5=7<10，6+5=11>10
∴每个猕猴桃售价定为7元．

【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，利润问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a1+xn；而增长率为负数时，则降低后的结果为a1−xn，以及利润=单件利润×数量．
(1)设每周游客人数的增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
(2)设售价提高了y元，根据利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
26.【答案】【小问1详解】
解：由图②可知，
当x的值为23时，点F运动到了点H，
∴23×3=2，
故AH=2,AB=2AH=4(cm)
【小问2详解】
解：①如图3，过点F作FI⊥AD于点I．
∵FI⊥AD，
∴∠FIE=90∘，
∵AE=x,BF=3x−4，
∴IE=2x−4
在Rt▵FIE中，FI2+IE2=EF2
∴2x−42+42=2 52
解得：x1=3,x2=1
∵点F在线段BC上运动，
∴43≤x≤4，
∴此时x的值为3秒．
②如图3，过点G作GK⊥AB，交AB于点K，GJ⊥AB交AB于点J
由题意得：△AGK∽△ACB，
∴ACAG=GKCB，
∵CG= 5cm，AC= 42+82=4 5cm
∴AG=3 5cm，
∴3 54 5=GK4，解得，
同理▵AGJ∽▵ACB，
可得GJ=6cm，
∵S2=S▵AHG+S▵AEG−S▵AHE
∴S2=12×2×6+12⋅x⋅3−12×2⋅x=x2+6，
∵S3=S▵ABC+S▵AEG−S▵FGC−S梯形BAEF
∴S3=18−5x，
∴S2⋅S3=x2+618−5x=68
解得：x1=−10,x2=85
∵43≤x≤4，
∴此时x的值为85秒．


【解析】【分析】(1)根据两个图像的对比，可以找到当x为23时，点F与H会重合，即可求得．
(2)分别做出直角三角形，利用相似求边长，再用x表示出三角形的面积，即可求得．
本题考查了动点问题的函数图象问题，勾股定理，相似三角形的性质，掌握运用动点表示线段长度是解题的关键．
27.【答案】【小问1详解】
解：①∵DC⊥AB，CD//OF，
∴OF⊥AB，
∴∠FOB=90∘，
∵OF=OB，
∴Rt▵FOB为等腰直角三角形，
∴∠F=45∘，
故答案为：45；
②设OE=x．
∵E是OB中点，
∴BE=x，OD=OB=2x，
∵DC⊥AB，
∴在中，DC= DO2−CO2= 4x2−36，
∵CD//OF，
∴∠CDO=∠DOF，
∵∠DOF=∠DEC，
∴∠CDO=∠CED，
∵∠DCO=∠ECD，
∴△DCO∽△ECD，
∴OCDC=DCCE，即DC2=CO⋅CE，
∴4x2−36=66+x，
解得：x1=3+3 334，x2=3−3 334(舍去)，
∴线段OE的长为3+3 334；
【小问2详解】

如图：延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，
设OG=m，OE=x.则BE=CO=OE=x，OB=GB=2x，
∵CD//OF，
∴OGCD=EOEC=12，
∵OG=m，
∴CD=2m，
同：∵CD//OF，
∴OGCD=BOBC=23，
∵OG=m，
∴CK=32m，DK=12m，
∵CD//OF，
∴KMGM=DMOM=DKOG=12，
∵DO=2x，KG=x，
∴MK=13x，GM=23x，DM=2x3，OM=43x，
∴BM=2x+23x=83x，
∴DMBM=23x83x=14，KMOM=13x43x=14，
∴DMBM=KMOM=14，
又∵∠DMK=∠BMO，
∴△DMK∽△BMO，
∴DKBO=KMOM=14即12m2x=14，
∴m=x，
∴OGOF=m2x=x2x=12．

【解析】【分析】(1)①根据已知可判定出▵FOB为等腰直角三角形，即可得出结果；②设OE=x，根据勾股定理求出DC的长，再结合平行线性质可得到△DCO∽△ECD，进而根据OCDC=DCCE求出结果；
(2)延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，设OG=m，OE=x.则BE=CO=OE=x，OB=GB=2x，根据平行线分线段成比例推出结果即可．
本题考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．