山西省晋中市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省晋中市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列命题中真命题的个数是( )
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A.0B.1C.2D.3
2．已知两个单位向量，的夹角是，则( )
A.1B.C.2D.
3．设，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则实数( )
A.B.C.D.
4．下列说法正确的是( )
A.直四棱柱是长方体
B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C.正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D.台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
5．在中，D为的中点，，，与交于点G，，则( )
A.B.C.D.
6．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.该“升”的容积约是( )（约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长.）
A.B.C.D.
7．已知向量,,满足,,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，称此平面坐标系为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，若向量，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.向量与可作为该平面的一个基底
二、多项选择题
9．如图所示，C，D是线段上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则( )
A.z的实部为
B.z的虚部为i
C.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
D.z的共轭复数为
11．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是( )
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为
12．已知对任意角，均有等式.设的内角A，B，C满足，面积S满足.记a，b，c分别为角A，B，C的对边，则下列式子中一定成立的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．向量在向量上的投影向量__________.
14．已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数是__________.
15．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，那么面积的取值范围是__________.
16．如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为x（单位：cm），且，则该球的半径R（单位：cm）的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知复数，（，i为虚数单位）.
（1）若，求；
（2）若是关于x的实系数方程的一个复数根，求.
18．已知平面直角坐标系中，向量，.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若与的夹角为__________，求实数的取值范围.
请在如下两个条件中任选一个，将问题补充完整，并求解（如果两个条件都选，则按第1个的答题情况给分）：①锐角；②钝角.
19．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点A的正北方向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
20．中，，，，.
（1）若，，求的长度；
（2）若为角平分线，且，求的面积.
21．中，，，，D，E分别在边，上，且，.
（1）求与所成锐角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点M，使.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22．南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示，正方体，棱长为r.
（1）求图中四分之一圆柱体的体积；
（2）在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；
（3）四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点M在棱上，设.过点M作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
（4）如果令，求出八分之一“牟合方盖”的体积.
参考答案
1．答案：A
解析：（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
2．答案：D
解析：因为两个单位向量，的夹角是，
所以.
故选：D.
3．答案：D
解析：，
因为为纯虚数，
所以有，
故选：D.
4．答案：C
解析：对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，A错误；
对于B，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，B错误；
对于C，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，C正确；
对于D，不符合台体的结构特征,截面应该跟底面平行，D错误.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题设，，又，且，
所以，即，解得.
故选：B.
6．答案：A
解析：器具是一个无盖的正四棱台，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，
其体积为：.
故选：A.
7．答案：B
解析:,,
,
,
当且仅当时取等号,即的最小值为.
故选:B.
8．答案：C
解析：由题意得：，，
对于A项，，
，故A不正确；
对于B项，，故B项不正确；
对于C项，，
由题意得：，故C正确；
对于D项，向量与，，所以两个向量共线，不可作为该平面的一个基底，故D不正确.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A：因为C，D是线段上的两个三等分点，所以，且与同向，
所以，故选项A正确；
对于B：因为C，D是线段上的两个三等分点，所以，且与反向，
所以，故选项B正确；
对于C：因为C，D是线段上的两个三等分点，所以，且与反向，
所以，所以，故选项C正确；
对于D：因为C，D是线段上的两个三等分点，所以，且与反向，
所以，故选项D不正确；
故选：ABC.
10．答案：CD
解析：因为，所以，则，
所以z的实部为1，虚部为，，故A、B错误，D正确；
又复数z在复平面内对应的点为位于第四象限，故C正确；
故选：CD.
11．答案：BC
解析：如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；
将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，
故体积，即C正确；
以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：对于A，根据题意，由可得：
，即，
故，即，
所以，
故，故A正确.
对于B，又由正弦定理，得，，
三角形的面积公式，可得，又，
因此，即，故B错误.
对于C，，有，从而，故C正确.
对于D，根据三角形三边长的关系，有，故D正确.
故选：ACD.
13．答案：或
解析：因为，，
所以向量在向量上的投影向量的模长为，
所以投影向量或.
故答案为：或.
14．答案：/2i-5
解析：.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为，由正弦定理可得
，，
，，
又，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意，作出正四棱锥，如图所示，记F为的中点，连结，
可知，，四边形为正方形.
记O为正方形的中心，连结，，，则平面，
，，，
记正四棱锥的外接球的球心为，，
在直角中，，即，，
设，，则，
整理得，因为在区间上单调递减，
所以，即，.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）若，则，，
所以.
（2）方法1：由题得，
所以又，故可解得，即.
则.
方法2：因为是关于x的实系数方程的一个复数根，
所以是方程的另一个复数根，则，
即，又，故可得.
则.
18．答案：（1）或
（2）答案见解析
解析：（1）设，由题意得.
，，解得.
，，解得，
向量的坐标为或.
（2）.
当与共线时，，解得.
若选①锐角，则，
解得；
与的夹角为锐角时，实数的取值范围为；
若选②钝角，则，
解得，
与的夹角为钝角时，实数的取值范围是.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设游船的实际速度为.由，，得，.如图①为速度合成示意图，
由，得，.
所以的大小为，的值为.
（2）当，时，设到达北岸B点所用时间为，作出向量加法示意图如图②所示，
由向量数量积运算得，所以.在中，，从而，所以.故游船的实际航程为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
又在中，，，，
，
，即：.
（2）在中，，
又，
，，，
，
.
21．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）如图以A为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
则依题意，，，.
所以，，.
则，
所以与所成锐角的余弦值为.
（2）设，，
则.
由，得，
解得.
所以存在点M，使，.
22．答案：（1）
（2）图见解析
（3）
（4）
解析：（1）四分之一圆柱体的体积为：.
（2）如图所示，曲线是所求的一条交线.
（3）如图所示，截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形.
，.
正方体的棱长为r.又点P在以为圆心，为半径的圆弧上，，
.
所以正方形的面积为，即为所求.
（4）由（3）可知，用平行于八分之一“牟合方盖”底面的任意一个平面截它，所得截面面积是，其中是该平面截得的正方体的截面的面积，
又，因此可以构造底面边长为r，高为r的正四棱锥.
根据祖桓原理，八分之一“牟合方盖”的体积等于正方体的体积减去该正四棱锥体积，
即有：
.