郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数,,a,b为实数,若为实数,为纯虚数,则( )
A.B.C.D.
2．设,都是非零向量,下列四个条件中,能使一定成立的是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,则等于( )
A.B.C.D.
4．已知复数z满足,则的虚部为( )
A.B.C.D.
5．在中,若,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
6．在中,,,满足,,,则,,的轨迹一定经过的( )
A.内心,重心,垂心B.重心,内心,垂心
C.内心,垂心,重心D.重心,垂心,内心
7．在中,若,,,三角形有唯一解,则整数x构成的集合为( )
A.B.C.D.
8．已知外接圆半径为,,为锐角,则下列正确的是( )
A.
B.周长的最小值为
C.的取值范围为
D.的最大值为
二、多项选择题
9．在中,,,,则的面积可以为( )
A.B.C.D.
10．已知i为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.若复数z的共轭复数为,则
B.若是关于x的方程的一个根,则
C.若复数满足,则的最大值为
D.已知是方程在复数域的一个根,则
11．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
A.若,则,
B.若为斜三角形,则
C.若A为的最小内角,则
D.若,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则
12．对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量,满足,与的夹角,且和都在集合中．给出以下命题,其中一定正确的是( )
A.当时,则
B.当时,则
C.当时,则的取值个数最多为7个
D.当时,则的取值个数最多为个
三、填空题
13．数学家欧拉发现任意三角形的外心,重心,垂心,依次位于同一直线上,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,后人称这条线为欧拉线,已知外心,垂心,则重心G的坐标为_________
14．在平面直角坐标系中,,,,若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围满足的集合为__________
15．在平面凸四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点.若,,且,则________
16．郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建,是中国建筑独特仿古联体双塔,小米同学为了测量二七塔的塔高PH,在塔底所在的水平面内取点A,测得塔顶的仰角为,前进130米后到达B点,测得塔顶的仰角为,再前进米后到达C点,测得塔顶的仰角为,则塔高_________米.(参考数据:,最终结果保留整数,即结果精确到1m)
四、解答题
17．已知平面向量,.
（1）当实数m为何值时,与垂直;
（2）若与所成的角为锐角,求实数k的取值范围.
18．求解下面两题
（1）若复数为纯虚数,求m的值;
（2）已知x的方程有实数根a,求的值.
19．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）若,求在上的投影向量;(用向量表示)
（2）若,,为的平分线,BE为中线,求的值.
20．在斜中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
（1）若,求,,的值;
（2）若,求的最小值.
21．郑州市中原福塔的塔座为鼎,寓意为鼎立中原,从上空俯瞰如一朵盛开的梅花,寓意花开五福,福泽中原,它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼,璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念,流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习,用以下方法测量两座塔的高度.
（1）为测量中原福塔高度,小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线,使,,共线,在,,三点用测角仪测得的仰角分别为,,,其中测角仪的高度为1米,为了测量距离,小米骑共享单车,速度为5m/s,从到耗时,从到耗时为原来的2倍,求塔高.(参考数据:取,)
（2）为测量千玺广场“大玉米”高度,小米选择一条水平基线AH,使A,C,H三点共线,在A,B两点用测角仪测得P的仰角分别为,,在A处测得B的仰角为,测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距功能,从河南艺术中心音乐厅入口台阶A处运动到水景露天剧场的B处,测得距离.
①试用,,,表示塔高PH;
②若,,,米,求千玺广场“大玉米”的实际高度.
(参考数据:取,,)
参考答案
1．答案：A
解析：因为实数,所以,即,
又为纯虚数,所以,即且,
综上可知,所以.
故选:A.
2．答案：B
解析：由得,所以向量与方向相反.
对于A:由得向量与的方向相同,故A错误;
对于B:由得向量与方向相反,故B正确;
对于C:由得,故C错误;
对于D:由得向量与的方向相同,故D错误.
故选:B.
3．答案：C
解析：因为,,
所以,
则,
故选:C.
4．答案：B
解析：由得,即,
所以,则的虚部为.
故选:B.
5．答案：D
解析：由,
故,
故选:D
6．答案：A
解析：因为表示过角平分线所在向量,又,
所以的轨迹经过的内心,
由正弦定理,所以,
令,
由,
即,
设BC的中点为D,则,
所以,所以的轨迹经过的重心,
因为,
所以
,
所以,所以的轨迹经过的垂心.
故选:A
7．答案：C
解析：,由正弦定理
有唯一解,故整数b的值构成的集合为.
故选:C
8．答案：D
解析：对于A,已知外接圆半径,,
由余弦定理得,,
则,故A错误;
对于B,由正弦定理得,
解得,又为锐角,所以,
则周长为
因为,则,
则,故周长无最小值,故B错误;
对于C,
故,
所以的取值范围为,故C错误;
对于D,由正弦定理得,则,
所以,
则
,
因为,所以,
则当,,故D正确.
故选:D.
9．答案：AC
解析：,,,
,即,
整理得,解得或,
当时,,
当时,,
所以的面积为或.
故选:AC.
10．答案：ACD
解析：对于A,设,则,对;
对于B,对于实系数方程存在复数根,则必为一对共轭复数,故,错;
对于C,令,由复数模的几何意义,可表示为,
即在圆心为,半径为1的圆上,数形结合易知的最大值为2,对;
对于D,,则有或,
所以为的一个根,即,且,
当时,,对.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：对于A,,可得,由正弦定理得,又,由余弦函数单调性可得,故A正确;
对于B,因为,
则,
故,故B正确;
对于C,若A为的最小内角,则,故C错误;
对于D,,
设,,,,
,,故,故D正确.
故选:ABD
12．答案：ACD
解析：设,,
相乘得,,即,
由,
对于A,当时,,而和都在集合,
也就是都是整数,故,所以,故A正确;
对于B,当时,,
又是整数,当时,有,即,
对于C,当时,,即,
即,所以的取值个数最多为个,当且仅当时的取值个数最多,
对于D,当时,,
即,即,
所以的取值个数最多为个.
故选:ACD.
13．答案：
解析：设,由题.
故答案为:.
14．答案：
解析：,,由题A,B,C不共线,即不共线,
则.
故答案为:
15．答案：2
解析：连接EB,EC,,
由
故
故答案为:2
16．答案：63
解析：在中,,
在中,由正弦定理得:
,由于为锐角,故,
在中,,
故答案为:63
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以,,.
因为与垂直,
所以,
即,解得,
故实数m的值为.
（2）,
,
因为与所成的角为锐角,
所以,且与不共线,
即,解得
当与共线时,,解得,
故,
综上可知,实数k的取值范围为
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）
因为z为纯虚数,所以,得或(舍),故
（2）
所以,解得
.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）
,解得,又,故.
因为在中,,而,即,
所以投影向量为,.
（2）,
由可得
,
,
所以.
20．答案：（1）,,;
（2）.
解析：（1）,
即,故,即,,
由得,所以或(舍去).
,
所以,
故或(舍),所以,
所以,,.
（2）由（1）知,,,由正弦定理得:
,故,,
即,
,
当且仅当,时取等号,
所以最小值为.
21．答案：（1）388米;
（2）①;
②280米
解析：（1）设,,
则由,,得,,
又到耗时为原来的倍,即,
在中,,
在中,,
由
由题,
故
所以(米)
（2）①在中,,,,
由正弦定理得:,
在直角中,.
②(米)