备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（七）

这是一份备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（七），共12页。试卷主要包含了已知数列的前项和为，且，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．（本题13分）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
2．（本题15分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
3．（本题15分）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
4．（本题17分）已知双曲线的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线相交于两点，直线分别交直线于两点，求的取值范围．
5．（本题17分）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（七）（新结构）
解答题（共77分）
1．（本题13分）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解.
【详解】（1）由①，
当时，解得，
当时，②，
①-②，得，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
经验证符合上式，所以．
（2）由（1）知，
，．
则，
故
，
所以，，，
故.
2．（本题15分）袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望.
【详解】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：
.
3．（本题15分）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解，
（2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解.
【详解】（1）当时，，解得
又因为，所以切线方程为：，即
（2）的定义域为，
当时，得恒成立，在单调递增
当时，令，
（i）当即时，
恒成立，在单调递增
（ii）当即时，
由得，或，
由得，
所以在，单调递增，
在单调递减
综上：当时，在单调递增；
当时，在，单调递增；
在单调递减.
4．（本题17分）已知双曲线的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线相交于两点，直线分别交直线于两点，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用双曲线的顶点与渐近线性质得到关于的方程，从而得解；
（2）解法一：联立直线与双曲线的方程，得到与的取值范围，再将所求转化为关于的表达式即可得解；解法二：通过分析可得是上述关于方程的两个不等根，从而求得的值，再将所求转化为关于的表达式即可得解.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解法一：
由题知，直线的斜率存在，

设方程为，，
联立，得，
则且，
所以且，则，
因为的方程为，由题意得，则，
所以，
令得，同理
所以，，
所以，
当时，都在点右侧，
则
，
当时，在点两侧，此时与异号，
则，
又，
所以，
综上，的取值范围为.
解法二：
由题知，直线必经过点，故可设方程为，
设，因为直线过点，所以，
设，
由得，
即，
所以是上述关于方程的两个不等根，
所以，
又直线不平行与渐近线，所以，
所以，
直线与联立得点，同理
所以，
所以，
①当时，，所以，
②当时，，
，
所以，
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（本题17分）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
【答案】(1)，；(2)，；(3)①16；②，共有12个面，24条棱
【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合代表的点，后得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可.
（2）首先根据（1）分析得出为截去三棱锥所剩下的部分.
后用割补法求解体积即可.
（3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可.
【详解】（1）集合表示平面上所有的点，
表示这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2的正方形，因此.
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q表示，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点.
它是边长为的正方形，因此.
（2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，；
考虑集合的子集；
即为三个坐标平面与围成的四面体.
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，.
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上.
则为截去三棱锥所剩下的部分.
的体积，三棱锥的体积为.
故的体积.
当由对称性知，.
（3）如图所示，即为所构成的图形.
其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥，
其中到面的距离为，
，.
由题意面方程为，由题干定义知其法向量
面方程为，由题干定义知其法向量
故.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为.
由图可知共有12个面，24条棱.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可．
X
2
3
4
5
P