备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（三）

这是一份备战2024届江苏新高考数学解答题专项限时训练卷（三），共9页。试卷主要包含了已知函数关于点中心对称等内容，欢迎下载使用。
1．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，点是的中点，且，求的面积．
2．（15分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点．
（1）证明：．
（2）点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积．
3．（15分）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．
（1）若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
（2）若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
4．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点．
（1）求椭圆的离心率．
（2）若，求点的坐标．
（3）若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
5．（17分）已知函数关于点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论在区间上的单调性；
（3）设，，证明：．
备战2024届江苏新高考解答题专项限时训练卷（三）（新结构）
解答题（共5小题，满分77分）
1．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，点是的中点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得：，
化简可得：，
因为不可能为0，所以；
（2）在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式联立可得：，
所以，
由可得，，
所以由，
可解得，所以，
所以．
2．（15分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点．
（1）证明：．
（2）点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）或
【详解】（1）证明：由，，由平面平面，
平面平面，
面，
平面，．
（2）取中点，连，，
，，面
作于，连，
，面，
是与面所成的角，
设，，，
，，，
或，，，
四棱锥的体积为或．
3．（15分）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．
（1）若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
（2）若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意可知，的取值可能为4，6，8．
，
，
，
所以三人总积分的分布列为：
所以；
（2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，
其中包含三种情况，第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜，
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜，
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
则（A），
同理可得：（B），
（C），
则（B）（C），
所以（B）（C），
（A）（B）
，
所以（A）（B），
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局．
4．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点．
（1）求椭圆的离心率．
（2）若，求点的坐标．
（3）若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）是，恒过，理由见解析
【详解】（1）由椭圆的方程知：，，
椭圆的离心率．
（2）设，直线交轴于点，，，
因为，
所以，即，所以，
所以或．
（3）设，，，，则直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，，
即．
直线的方程为，
由，得，
所以，所以，，
即，
所以，故直线的方程为，
即，
整理得，
即直线方程为：，
恒过定点为．
5．（17分）已知函数关于点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论在区间上的单调性；
（3）设，，证明：．
【答案】（1）；（2）在区间上单调递增；（3）见解析
【详解】（1）解：因为函数关于点中心对称，
所以，即，
取，可得，解得或（舍去），所以，
则；
（2）解：因为，
则，
因为，
所以，，，
所以恒成立，
所以在区间上单调递增；
（3）证明：要证，即证，
当时，，成立，
即证，即证，
由题意得，则即证，
因为，，
由，即与异号，
当，即证，即证，
即证，即证，
由（2）可知，当成立，
当，即证，即证，即证，即证，
由（2）可知，当成立，
综上，得证．
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