江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024届高三下学期数学周周清试卷

这是一份江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024届高三下学期数学周周清试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．已知集合U={0,1,2,3,4},A={x∈N3x∈N}，则∁UA=( )
A. 0,1,3B. 1,3C. 0,2,4D. 2,4
2．已知i为虚数单位，若z=2i1+i，则z⋅z=( )
A. 2B. 2C. −2iD. 2i
3．已知单位向量a,b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A. a+2bB. 2a+bC. a−2bD. 2a−b
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，函数y=[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3.已知函数f(x)=2x+11+22x，则函数y=[f(x)]的值域是( )
A. {0,1}B. (0,1]C. (0,1)D. {−1,0,1}
5．已知x= 2 , y=e1e , z=π1π，则x，y，z的大小关系为( )
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
6．过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线分别交于点A，B和点M，N，点O为坐标原点，则△OAB与△OMN的面积的倒数的平方和为( )
A. 1B. 2或14C. 14D. 2或12
7．已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A.以为周期 B.最大值是1
C.在区间上单调递减 D.既不是奇函数也不是偶函数
8．已知数列{an}满足a1=1，且对任意m,n∈N∗(m>n)均有am+n+am−n=2am+2an.记{an}的前n项和Sn，则S7=（ ）
A.28 B.140 C.256 D.784
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．已知(m+x)x5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a6(x−1)6，其中m∈R，且a1+a3+a5=64，则下列判断正确的是( )
A. m=2B. a0+a2+a4+a6=32
C. a4=25D. a3>a4
10．已知∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a(sinA−sinB)=csinC−bsinB，则下列说法正确的是( )
A. C=π6
B. 若∆ABC的面积为 3，则c的最小值为2
C. 若a=1，B=5π12，则∆ABC的面积为3+ 38
D. 若b=3，c= 7，则满足条件的∆ABC有且仅有一个
11．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G,H分别是所在棱上的动点，且满足DH+BG=AE+CF=1，则以下四个结论正确的是( )
A. E,G,F,H四点一定共面
B. 若四边形EGFH为矩形，则DH=CF
C. 若四边形EGFH为菱形，则E,F一定为所在棱的中点
D. 若四边形EGFH为菱形，则四边形EFGH周长的取值范围为[4,2 5]
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．某医药研究所研制了5种消炎药X1，X2，X3，X4，X5和4种退烧药T1，T2，T3，T4，现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1，X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有 种.
13．若关于x的不等式0⩽ax2+bx+c⩽2(a>0)的解集为x|−1⩽x⩽3，则3a+b+2c的取值范围是__________．
14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(−2,1)，B(−2,4)，点P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=−1上的射影为H，则12PB+PQ+QH的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（本题满分13分）已知函数fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0z>y
C. y>x>zD. y>z>x
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较大小，构造函数是关键，属于中档题．
构造函数f(x)=lnxx，利用导数可知x>e时f(x)单调递减，故可得lny>lnz>lnx，进而比较出x、y、z的大小．
【解答】
解：lnx=ln22，lny=lnee，lnz=lnππ，
设f(x)=lnxx，则f'(x)=1−lnxx2，
当0lnx，
又y=lnx在(0,+∞)上单调递增，故y>z>x，
故选D．
6．过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线分别交于点A，B和点M，N，点O为坐标原点，则△OAB与△OMN的面积的倒数的平方和为( )
A. 1B. 2或14C. 14D. 2或12
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
设A，B坐标，设直线l1的方程，与抛物线方程联立，分别求出S△OAB和S△OMN，即可求出答案．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由抛物线方程知焦点F(1,0)，
设直线l1的方程为x=my+1(m≠0)，
代入抛物线方程，得y2−4my−4=0，
则y1+y2=4m，|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+2+2=4m2+4．
又原点到直线l1的距离d=1 1+m2，
所以S△OAB=12×1 1+m2×4(m2+1)=2 1+m2．
因为l1⊥l2，
所以S△OMN=2 1+(1m)2=2 1+m2m2，
所以，
故选C．
7．已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A.以为周期 B.最大值是1
C.在区间上单调递减 D.既不是奇函数也不是偶函数
答案 D 解：令，，
，，；，，由以上3式，得到.因此选D.
8．已知数列{an}满足a1=1，且对任意m,n∈N∗(m>n)均有am+n+am−n=2am+2an.记{an}的前n项和Sn，则S7=
A.28 B.140 C.256 D.784
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．已知(m+x)x5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a6(x−1)6，其中m∈R，且a1+a3+a5=64，则下列判断正确的是( )
A. m=2B. a0+a2+a4+a6=32
C. a4=25D. a3>a4
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
利用二项展开式结合特值进行求解即可．
【解答】
解：令x−1=t，则x=t+1，于是可得(m+1+t )(1+t)5=a0+a1t+a2t2+⋯+a6t6，
令t=1，则a0+a1+a2+⋯+a6=32(m+2)， ①
令t =−1，则a0−a1+a2−a6=0， ②
①− ②，得2(a1+a3+a5)=32(m+2)=2×64=128，解得m=2，A正确;
①+ ②，得2(a0+a2+a4+a6)=32(m+2)=128，所以a0+a2+a4+a6=64，B错误;
又a4=3C54+C53=25，C正确;经计算a3=40>a4，D正确．
故选ACD．
10．已知∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a(sinA−sinB)=csinC−bsinB，则下列说法正确的是( )
A. C=π6
B. 若∆ABC的面积为 3，则c的最小值为2
C. 若a=1，B=5π12，则∆ABC的面积为3+ 38
D. 若b=3，c= 7，则满足条件的∆ABC有且仅有一个
【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查正余弦定理的综合应用，以及三角形的面积公式，属于中档题．
由正弦定理和余弦定理得csC=12，得出C=π3，再由三角形面积公式、基本不等式、余弦定理逐一判定即可．
【解答】
解：∵a(sinA−sinB)=csinC−bsinB，
∴由正弦定理可得a(a−b)=c2−b2，即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=12，
∵00) 的解集为 x|−1⩽x⩽3 ，
所以二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1 ，
且需满足 f(−1)=2f(3)=2f(1)⩾0 ，即 a−b+c=29a+3b+c=2a+b+c⩾0 ，解得 b=−2ac=−3a+2 ，
所以 a+b+c=a−2a−3a+2⩾0⇒a⩽12 ，所以 a∈(0,12] ，
所以 3a+b+2c=3a−2a−6a+4=4−5a∈[32,4) ．
故答案为： 32,4 ．
14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(−2,1)，B(−2,4)，点P是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=−1上的射影为H，则12PB+PQ+QH的最小值为 ．
【答案】(x+2)2+y2=4； 10
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力，属于综合题．
(1)利用直译法直接求出P点的轨迹．
(2)先利用阿氏圆的定义将12|PB|转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值．
【解答】
解：设P(x,y)，由阿氏圆的定义可得
PAPB=12,即(x+2)2+(y−1)2(x+2)2+(y−4)2=14,化简得(x+2)2+y2=4；
∵PAPB=12,则PA=12PB
设F(1,0),则由抛物线的定义可得QH=QF
∴12|PB|+|PQ|+|QH|=|PA|+|PQ|+|QF|⩾|AF|= 10,
当且仅当A,P,Q,F四点共线时取等号，
∴12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值为 10，
故答案为(x+2)2+y2=4 ； 10．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（本题满分13分）已知函数fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0