吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

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本试卷满分150分，共4页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A．2B．C．D．
2．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项B．项C．项D．项
3．已知等比数列的前项和，则（ ）
A．3B．9C．D．
4．若在上可导，，则（ ）
A．6B．C．4D．
5．已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．0B．C．1D．
6．已知数列满足：设，则（ ）
A．4048B．8096C．D．
7．已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
8．数列中，，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列运算不正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．D．当时，有最大值
11．已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．设，则数列的前项和小于
D．设，则数列的前项和小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列满足，则数列的通项公式为______．
13．过原点作曲线的切线，且切线与曲线（）交于，两点，若，则______．
14．已知圆心在轴正半轴上的一系列相外切的圆的圆心的坐标为，且满足，第个圆的圆心横坐标为，这个圆的面积之比为，第1个圆的半径为1．记，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求其前项和为．
16．（15分）
已知函数．
（1）求函数在区间上的平均变化率；
（2）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；
（3）求过点且与曲线相切的直线方程．
17．（15分）
已知正项数列前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
18．（17分）
已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求的范围．
19．（17分）
在数列中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．
（1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”；
（2）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
四平市第一高级中学2023—2024学年度下学期第一次月考
高二数学答案
一、选择题（单选每小题5分，共8题，多选每小题6分，共3题，共58分）
二、填空题（每小题5分，共3题，共15分）
12．
【解答】由题意，①，
当时，，，
当时，②，
①－②得（），（）．
当时，满足上式，．
13．
【解答】，设切线与曲线相切于点，则，
切线过点，代入解得，
易知切线的方程为，所以，由，解得，
所以，即．
14．
【解答】由题意圆心坐标满足，，…，
又个圆的面积之比为，所以半径为，，…，；
又，而，
所以，
所以．
三、解答题（共5题，共77分）
15．（13分）
【解答】（1）设等差数列的通项公式为：，
由题意：，解得．
所以．
（2）由（1）可得：，
所以，
故
．
16．（15分）
【解答】（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2），，，
，，，
由题意可知，，得；
（3），设切点为，，
则曲线在点处的切线方程为，
切线过点，则，化简为，
即，则，
得或，
当时，切线方程为，
当时，切线方程为，
综上可知，切线方程为或．
17．（15分）
【解答】（1）因为，则，
两式相减得：，
整理得，
且为正项数列，可知，
可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得，
当为奇数，则，
可得
，
所以．
18．（17分）
【解答】（1）数列中，，，
当时，，两式相减得，
当时，，且，所以，因此，，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项
（2）由（1）及，得，
则，①
则有，②
①－②得
因此，
由恒成立，得恒成立，
即恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，恒成立，当时取得最小值1，则；
当时，，显然恒有，则；
所以的范围是．
19．（17分）
【解答】（1）由题意可得，，
所以1，2，3，7，43是“数列”；
（2）数列不是“数列”，理由如下：
（），则（），
又（），
所以（），
因为不是常数，所以数列不是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，由（），
有（）①，
所以（）②，
两式作差得（），
又因为数列为“数列”，所以（），
设数列的公比为，所以（），
即对成立，
则，得，
又，，得，
所以，．1
2
3
4
5
6
7
C
D
D
B
C
A
B
8
9
10
11
C
AB
ABC
AD