浙江省金华市2024届高三下学期4月模拟考试数学试题

这是一份浙江省金华市2024届高三下学期4月模拟考试数学试题，共8页。试卷主要包含了设直线l，等差数列的首项为正数，公差为d，已知，已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。考试时间120分钟。试卷总分为150分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
2．=（ ）
A．B．C．D．
3．设，条件，条件，则p是q的（ ）
A．充分不要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设直线l：，圆C：，则1与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能
5．等差数列的首项为正数，公差为d．为的前n项和，若，且，，成等比数列，则d=（ ）
A．1B．2C．D．2或
6．在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，理要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（ ）
A．72种B．48种C．36种D．24种
8．已知．则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为，则（ ）
A．x的值为0.0044
B．这100户居民该月用电量的中位数为175
C．用电量落在区间内的户数为75
D．这100户居民该月的平均用电量为
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．在矩形ABCD中，，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成．若M为线段的中点，则在△ADE从起始到结束的翻折过程中，（ ）
A．存在某位置，使得B．存在某位置，使得
C．MB的长为定值D．MB与CD所成角的正切值的最小值为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若单位向量，满足，则向量的夹角为______
13．已知函数若在点处的切线与点处的切线互相垂直，则______
14．设椭圆：与双曲线：有相同的焦距，它们的离心率分别为，椭圆的焦点为，在第一象限的交点为P，若点P在直线上，且，则的值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分；若点数之和不等于7，则获得2个积分．
（1）记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
16．（本题满分15分）
设，
（1）若，求的值域：
（2）若存在极值点，求实数a的取值范围．
17．（本题满分15分）
如图，在三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面是矩形，．
（1）求证：三棱锥是正三棱锥
（2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值
18．（本题满分17分）
设抛物线C：，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于P，Q两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：；
（3）记△AMN，△APQ的面积分别为，，若，求直线l的方程．
19．（本题满分17分）
设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”．
（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
（2）判断并证明在这个数中，有多少个数对p“协调”
（3）计算前个对p“协调”的非负整数之和．
金华十校2024年4月高三模拟考试
评分标准与参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．60°13．14．2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）因为两次点数之和等于7有以下基本事件：共6个，所以，又．
而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是共3个，所以
故，所以事件A，B是独立事件．
（2）设每位参与这个活动的顾客获得的积分为X，则X可取6，9，12，15，
，
，
所以
16．解：（1）若，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减
又，，
所以，即的值域为
（2）．
存在极值点，则在上有解，即有解．
令，则在上有解．
因为函数在区间上单调递减，所以．
17．证明：分别取AB，BC中点D，E，连接CD，AE交于点O，则点O为正三角形ABC的中心．
因为得，所以，则①
取中点，连接，则四边形是平行四边形，
因为侧面是矩形，所以，又，所以，则②
由①②可得，，所以三棱锥是正三棱锥．
（2）因为三棱柱的体积为，底面积为，所以高
以E为坐标原点，EA为x轴正方向，EB为y轴正方向，过点E且与平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量，因为．
则，可取．
又
直线与平面所成角为θ
所以
18．解：（1）由题：，故抛物线C的方程为
（2）设l：，，
联立，消去x得，则，且
又AM：，令得
同理可得
所以
故；
（3）解法一：由（2）可得：
由，得：，解得，
所以直线l的方程为．
解法二：.
所以
由，得，解得，所以直线l的方程为．
19．解：（1）因为，所以，
，所以，
，所以，
所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”
（2）先证引理：对于任意的非负整数t，在中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设，由于pt是p的倍数，所以，所以，即对于这一项的系数为，
所以，
根据整除原理可知，在中有且仅有一个数能被p整除，
所以在中有且仅有一个数对p“协调”．
接下来把以上个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）：
根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”．
（3）继续考虑这个数（分成p组，每组p个数）：
由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：
设某一列第一个数为，
则，所以，
同理当时，，所以当时，
集合中的p个数中有且只有1个数对p“协调”．
注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p，
所以p个数对p“协调”的数之和为：，
进一步，前个对p“协调”的非负整数之和为：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
C
B
D
A
C
题号
9
10
11
答案
AD
ACD
BCD