2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区树人初级中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区树人初级中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则m的值是
( )
A. 16B. −4C. 4D. 4或−4
2.如果关于x的方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
( )
A. m<1B. m<1且m≠0C. m>1D. m>−1且m≠0
3.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=35∘，则∠BOD的度数是( )
A. 75∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘
4.如表给出了二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2+x+c=0的一个根的近似值可能是
( )
A. 1.08B. 1.14C. 1.28D. 1.38
5.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=52∘，则∠AOB的度数是
( )
A. 52∘B. 26∘C. 38∘D. 104∘
6.如图5，
已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为
A. (2,3)B. (3,2)C. (3,3)D. (4,3)
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A6,0、B0,6，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
( )
A. 3 7B. 7C. 14D. 4 2
8.二次函数y=x2−x+m的图象如图所示，当x=a时y<0，那么当x=a−1时，函数值( )
A. y<0B. 0mD. y=m
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.二次函数y=3(x−2)2+1的图像的顶点坐标是______．
10.已知：m2−2m−1=0，n2+2n−1=0且mn≠1，则mn+n+1n的值为_____．
11.4个数a，b，c，d排列成abcd，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad−bc.若2xx+1x−2x+1=6，则x=__________．
12.已知x1，x2是一元二次方程x2+2(m+1)x+m2−1=0的两实数根，且满足(x1−x2)2=16−x1x2,实数m的值为________．
13.如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2=AB⋅DC，则OD=__．
14.小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面几个信息：①a−b+c>0；②b>0；③当x>0时，y随x的增大而增大；④b2−4ac>0；⑤2a+b<0.你认为其中正确的说法有_____.(把正确答案的序号填在横线上)
15.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在x轴上，且不等式x2+bx+c>m的解集为x<−1或x>3，则m的值为________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解下列一元二次方程．
(1)x2−2x=0
(2)2x−12−1=0
(3)x+12=2x+1
(4)2x2−5x−7=0
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−3x−m+3=0总有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若它的两个实数根满足x1=2x2，求m的值．
18.(本小题8分)
如图，已知线段AB是⊙O的一条弦．

(1)作出圆心O.要求：尺规作图(既不带刻度的直尺和圆规)，保留作图痕迹，不写作法，标出必要的字母；
(2)若弦AB=10，圆心O到AB的距离为4，求⊙O的半径．
19.(本小题8分)
关于x的方程2x2+m+2x+m=0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
20.(本小题8分)
阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作留：过圆外一点作圆的切线．
己知：P为⊙O外一点．
求作：经过点P的⊙O的切线．

小敏的作法如下：
如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C．
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点．
③作直线PA，PB．
(1)请补充完整小敏的 作图．
(2)连接OA，OB可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是______________________________
由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______________________________
21.(本小题8分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
22.(本小题8分)
如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO=∠BCD；
(2)若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的半径．
23.(本小题8分)
红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=14t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=−12t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题．
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到Δ=m2−4×1×4=0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，
∴Δ=m2−4×1×4=0
解得：m=±4．
故选：D．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ>0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴−22−4m×1>0,m≠0，
即m<1且m≠0，
故选：B．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵∠BCD与∠BOD都对BD⌢，
∴∠BOD=2∠BCD=2×35∘=70∘．
故选：B．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在(1.1,0)和点(1.2,0)之间，更靠近点(1.2,0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c=0一个根的近似值．掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵x=1.1时，y=ax2+bx+c=−0.49；
x=1.2时，y=ax2+bx+c=0.04；
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在(1.1,0)和点(1.2,0)之间，
∴方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.14．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOB即可．
【详解】解：∵∠ACB=52∘，
∴∠AOB=2∠ACB=104∘，
故选：D．
本题考查了圆周角定理，熟记在同圆中同弧所对的圆心角是其所对的圆周角的2倍是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【详解】试题分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为(0,3)，由函数的对称性知B点坐标．
解：由题意可知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，
∵点A的坐标为(0,3)，且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为(4,3)
故选D．
考点：二次函数的性质．
7.【答案】C
【解析】【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】解：连接OP、OQ．

∵PQ是O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短，
又∵A6,0、B0,6，
∴OA=OB=6，
∴AB=6 2，
∴OP=12AB=3 2，
∵OQ=2，
∴PQ= OP2−QO2= 14，
故选：C．
此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a−1<0，因为当x<12是y随x的增大而减小，所以当x=a−1<0时，函数值y一定大于m．
【详解】解：∵对称轴是x=12，0故由对称性12当x=a时，y<0，
则a的范围是x1所以a−1<0，
当x<12时y随x的增大而减小，
当x=0时函数值是m．
因而当x=a−1<0时，函数值y一定大于m．
故选：C．
本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性，解答关键是注意数形结合．
9.【答案】(2,1)
【解析】【分析】根据二次函数表达式为y=3(x−2)2+1，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数y=3(x−2)2+1的图像的顶点坐标是(2,1)，从而得到答案
【详解】∵二次函数的解析式的顶点式为y=3(x−2)2+1，
∴二次函数y=3(x−2)2+1的图像的顶点坐标是(2,1)
故答案为：(2,1)
本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键．
10.【答案】3
【解析】【分析】将n2+2n−1=0变形为1n2−2n−1=0.据此可得m，1n 是方程x2−2x−1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+1n =2，代入mn+n+1n=m+1+1n可得．
【详解】由n2+2n−1=0可知n≠0．
∴1+2n−1n2=0．
∴1n2−2n−1=0，
又m2−2m−1=0，且mn≠1，即m≠1n ．
∴m，1n 是方程x2−2x−1=0的两根．
∴m+1n =2．
∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1=3，
故答案为3．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，1n 是方程x2−2x−1=0的两根．
11.【答案】−4或1
【解析】【分析】根据二阶行列式的运算法则，得到关于x的方程，求出x的值．
【详解】解答：解：由二阶行列式的运算法则，
2xx+1x−2x+1=6
2x(x+1)−(x−2)(x+1)=6
2x2+2x−(x2+x−2x−2)=6
2x2+2x−x2−x+2x+2=6
x2+3x−4=0
(x+4)(x−1)=0
∴x=−4，x=1，
故答案为：−4或1．
本题考查了整式的混合运算和方程的解法．解决本题的关键是理解二阶行列式的运算法则．
12.【答案】1
【解析】【详解】解：由题意有△=[2(m+1)]2−4(m2−1)≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥−1，
由两根关系，得x1+x2=−2(m+1)，x1x2=m2−1，(x1−x2)2=16−x1x2
(x1+x2)2−3x1x2−16=0，∴[−2(m+1)]2−3(m2−1)−16=0，
∴m2+8m−9=0，解得m=−9或m=1.∵m≥−1，∴m=1
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
13.【答案】 5−12
【解析】【 分析】可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x，表示出AB、AD，根据AD2=AB⋅DC，列方程求解即可．
【详解】在△AOB和△AOC中，
∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵OA=OA，
∴∠ACO=∠OAD，
∵∠ADO=∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴ADBD=ODAD=AOAB，
设OD=x，则BD=1+x，
∴AD1+x=xAD=1AB，
∴OD= xx+1，AB= xx+1x，
∵DC=AC−AD=AB−AD，AD2=AB⋅DC，
( xx+1)2═ xx+1x( xx+1x− xx+1)，
整理得：x2+x−1=0，
解得：x=−1+ 52或x=−1− 52(舍去)，
因此AD= 5−12，
故答案为 5−12．
本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．
14.【答案】②④⑤
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，当x=−1时，y<0，即可判断①；根据图象的开口向下，可得a<0，函数图象的对称轴在y轴右边，即−b2a>0，可得a,b异号，即可判断②；当0−b2a时，y随x的增大而减小，即可判断③；根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即可判断④；根据x=2时，y<0，即可判断⑤，从而可得答案．
【详解】解：根据图象可得，当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，故①错误；
根据图象的开口向下，可得a<0，函数图象的对称轴在y轴右边，
即−b2a>0，可得a,b异号，故b>0，故②正确；
由图象可知0<−b2a<1，
∴当0−b2a时，y随x的增大而减小，
故③错误；
由图象可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则b2−4ac>0，
故④正确；
由图象可知，当x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，
又∵y=ax2+bx+c图象与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴4a+2b<−c<0，
∴2a+b<0，
故⑤正确，
综上可知，其中正确的说法有②④⑤，
故答案为：②④⑤
15.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线y=x2+bx+c的顶点在x轴上得出c=b24，再根据不等式x2+bx+c>m的解集为x<−1或x>3可以得出x=−1或x=3是关于x的方程x2+bx+c−m=0的解，然后解方程组即可求出m的值．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c的顶点在x轴上，
∴b2−4c=0，
∴c=b24，
∵不等式x2+bx+c>m的解集为x<−1或x>3，
∴x=−1或x=3是关于x的方程x2+bx+c−m=0的解，
1−b+b24−m=09+3b+b24−m=0,
解得b=−2m=4,
∴m的值为4，
故答案为：4．
16.【答案】【小问1详解】
解：因式分解，得：xx−2=0，
解得：x1=0，x2=2．
【小问2详解】
移项，得：2x−12=1，
开方，得：2x−1=±1，
解得：x1=1，x2=0．
【小问3详解】
移项，得：x+12−2x+1=0，
因式分解，得：x+1x−1=0，
即：x+1=0或x−1=0
解得：x1=1，x2=−1．
【小问4详解】
因式分解，得：2x−7x+1=0，
即：2x−7=0或x+1=0，
解得：x1=−1，x2=72．

【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程：
(1)利用因式分解法即可求解；
(2)利用直接开方法即可求解；
(3)利用因式分解法即可求解；
(4)利用因式分解法即可求解；
熟练掌握因式分解法是解题的关键．
17.【答案】【小问1详解】
解：根据题意得Δ=32−4×(−m+3)=4m−3>0，
解得m>34；
【小问2详解】
解：若它的两个实数根满足x1=2x2，
设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得2t+t=3，2t×t=−m+3，
解得t=1，m=1，
故m的值为1．

【解析】【分析】(1)根据判别式的意义得到Δ=32−4×(−m+3)=4m−3>0，然后解不等式即可；
(2)设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得2t+t=3，2t×t=−m+3，从而可求出m的值．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握根与系数的关系是本题的关键．
18.【答案】【小问1详解】
解：如图，点O即为所求．

【小问2详解】
解：如图，连接OA，

作图过程可知，OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×10=5，
又∵圆心O到AB的距离为4，
∴OD=4，
∴OA= OD2+AD2= 42+52= 41，
∴⊙O的半径为 41．

【解析】【分析】(1)作弦AB外的任意一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，得到的交点即为圆心O．
(2)利用垂径定理及勾股定理求解．
本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理等，解题的关键是正确确定圆心的位置．
19.【答案】【小问1详解】
证明：Δ=b2−4ac=(m+2)2−4×2×m=(m−2)2，
∵无论m取何值时，Δ=(m−2)2恒大于或等于0，
∴原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(m−2)2=0，
解得m=2，
将m=2代入原方程得2x2+4x+2=0，
得x+12=0，
解得x1=x2=−1，
∴原方程的根为：x1=x2=−1．

【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得；
(2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．
20.【答案】【小问1详解】
解：如图，

【小问2详解】
∵MN垂直平分OP，
∴OC=CP．
∴OP是⊙C的直径．
∴∠OAP=∠OBP=90∘，依据是：直径所对的圆周角是直角；
∴直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．


【解析】【分析】(1)根据尺规作图作线段的垂直平分线处理；
(2)由垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角可得∠OAP=∠OBP=90∘；由切线的判定定理“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得证切线．
本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，圆周角定理及推论，切线的判定定理；熟练掌握相关定理是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
2561+x2=400，
解得：x1=0.25，x2=−94(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
【小问2详解】
解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
40−25−m400+5m=4250，
解得：m1=5，m2=−70(不合题意舍去)．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．

【解析】【分析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：2561+x件；三月份的销售量为：2561+x2件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD与∠ACE互余，
又∵AB⊥CD于点E，
∴∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD；
(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB−EB=(R−8)cm，
CE=12CD=12×24=12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2=OE2+CE2，
即R2=(R−8)2+122，
解得R=13．
答：⊙O的半径为13cm．

【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，又由AB⊥CD于点E，得到∠BCD=∠BAC.根据OA=OC，可得∠OAC=∠OCA.即可求证；
(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB−EB=(R−8)cm，根据垂径定理，可得CE=12CD，然后在Rt△CEO中，由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23.【答案】【小问1详解】
解：设数m=kt+b，有{k+b=943k+b=90
解得{k=−2b=96
∴m=−2t+96
经检验，其他点的 坐标均适合以上解析式，
故所求函数的解析式为m=−2t+96．
【小问2详解】
解：设日销售利润为P，
∴P={−2t+9614t+25−201≤t≤20−2t+96−12t+40−2021≤t≤40,
配方得：
∴P={−12t−142+5781≤t≤20t−442−1621≤t≤40,
当1≤t≤20时，则t=14时最大值为578，
当21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为(21−44)2−16=529−16=513(元)，
综上第14天的日销售利润最大，最大日销售利润是578元．
【小问3详解】
解：P1=(−2t+96)−14t+5−a
=−12t2+(14+2a)t+480−96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a<4，
∴3≤a<4．

【解析】【分析】(1)通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
(2)根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
(3)列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．
解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16
…
时间(天)
1
3
6
10
36
…
日销售量(件)
94
90
84
76
24
…