2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程3x2−8x+5=0中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是( )
A. 3，8，5B. 3，−8，5C. −3，−8，−5D. −3，8，−5
2.抛物线y=2(x+9)2−3的顶点坐标是
( )
A. (9,−3)B. (−9,−3)C. (9,3)D. (−9,3)
3.若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为( )
A. 5，7B. 5，5C. 7，5D. 7，7
4.如果a是一元二次方程2x2=6x−4的根，则代数式a2−3a+2024的值为
( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
5.如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是
．( )
A. 14B. 13C. 35D. 38
6.已知点A−3,y1，B−1,y2，C2,y3在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )
A. y17.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当a+b=8时，剩下的钢板面积的最大值是
( )
A. 4πB. 8πC. 10πD. 12π
8.抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点为A−3,0，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=−1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc>0；②Ex1,y1，Fx2,y2是抛物线y=ax2+bxa≠0上的两个点，若x1( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若x=1是方程mx2+2x−3=0的根，则m的值为______．
10.一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的机会______摸到J，Q，K的机会．(填“<，>或=”)
11.若关于x的方程m−2xm+8x+2m=0是一元二次方程，则m的值是______．
12.一组数据2、3、5、6、x的平均数是4，若再添加一个数x，则方差______.(填“变大”、“变小”或“不变”)
13.掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是______米．
14.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1,x2=−5，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,2，点B的坐标为4,2.若抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为_________．
16.对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当−1≤x≤1时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”.例如：y=x，y=−x均是“闭函数”.已知y=ax2+bx+c(a>0)是“闭函数”，且抛物线经过点A(1,−1)和点B(−1,1)，则a的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程
(1)3x−52+2x−5=0
(2)(x−1)⋅x+3=12
(3)2x2+8x−7=0(用配方法)
(4)2x2−2 2x+1=0
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍．
(1)求摸出1个球是蓝色球的概率；
(2)再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为12？
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
20.(本小题8分)
如图，二次函数的图象与x轴相交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴相交于点C(0,3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
(1)求D点坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
21.(本小题8分)
为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下表：
(1)计算这10户的平均月用水量；
(2)如果该小区有500户，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月用水多少吨？
22.(本小题8分)
今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
(1)问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
(2)该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售203m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
23.(本小题8分)
如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．现在任意转动这个转盘2次，当第1次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y=ax2+bx+3中的a；当第2次转动转盘停止时，指针所落区域的数字记作二次函数y=ax2+bx+3中的b．
(1)用“树状图”或“表格”列出所有等可能的结果；
(2)求这个二次函数的图像的对称轴在y轴右侧的概率；
(3)若这个二次函数的图像的对称轴在y轴右侧，且开口向下，求这个二次函数的最大值．
24.(本小题8分)
跳绳是一项很好的健身活动，如图①是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图②所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B，C相距20cm，头顶A离地174cm，相距60cm的双手D，E离地均为80cm.点A，B，C，D，E在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计，小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B，C两点，且甩绳形状始终保持不变．
(1)求经过脚底B，C时绳子所在抛物线的解析式；
(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
25.(本小题8分)
定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足x1−x2=x1⋅x2，则称此类方程为“差积方程”.例如：x−12x−1=0是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是______；
①6x2−5x+1=0②x2−4x=0③3x2+8x+4=0
(2)若方程x2−(m+2)x+2m=0是“差积方程”，求m的值；
(3)当方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“差积方程”时，请直接写出a、b、c满足的数量关系．
26.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC，∠ABC=90∘，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y=ax2+bx+c过A−1,0,B0,2,C4,0．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数第一象限上一点，当▵BCP的面积最大时，求P点的坐标；
(3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
27.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+3的顶点坐标为−1,4，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S▵CPD:S▵BPD=1:2时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为0,−1，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15∘，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；
(4)M是平面内一点，将▵AOC绕点M逆时针旋转90∘后，得到▵A1O1C1，若▵A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点C1的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：3x2−8x+5=0的二次项系数是3，一次项系数是−8，常数项是5．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】C
【解析】【详解】分析：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
详解：∵2，4，x，5，7的平均数为5，
∴(2+4+x+5+7) ÷5=5，
解得：x=7，
把这组数据从小到大排列为2，4，5，7，7，
∴这组数据的中位数5，故选C..
此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据方程根的定义得到2a2=6a−4，则a2−3a=−2，整体代入代数式a2−3a+2024即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程2x2=6x−4的根，
∴2a2=6a−4，
∴2a2−6a=−4
∴a2−3a=−2，
∴a2−3a+2024=−2+2024=2022，
故选：B．
此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到2a2=6a−4是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】如图，连接AD、BE、CF，则交点为M，设正六边形ABCDEF的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，则DF的长为2h，正六边形ABCDEF的面积为6×12×a×h=3ah，S阴影=S▵AFO+S▵COD=ah，然后根据这个点取在阴影部分的概率是ah3ah，计算求解即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，如图，连接AD、BE、CF，则交点为M，

设正六边形ABCDEF的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，则DF的长为2h，
∴正六边形ABCDEF的面积为6×12×a×h=3ah，
S阴影=S▵AFO+S▵COD=12×a×OF+12×a×OD=12a×2h=ah，
∴这个点取在阴影部分的概率是ah3ah=13，
故选：B．
本题考查了几何概率．解题的 关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：∵y=−x2−2x+b，
∴函数y=−x2−2x+b的对称轴为直线x=−1，开口向下，当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3，
∴y3故选B．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得b=8−a，然后根据图形写出剩下的钢板面积=822π−a22π−b22π，然后利用配方法可把代数式配成−12πa−42+8π的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
【详解】解：∵a+b=8，
∴b=8−a，则0根据图形可得：剩下的钢板面积=822π−a22π−b22π
=16π−14πa2−14π8−a2
=−12πa2+4πa
=−12πa−42+8π；
∵−12π<0，
∴−12πa−42+8π≤8π，即剩下的钢板面积≤8π，
∴剩下的钢板面积的最大值为8π，只有选项 B符合；
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】由图可知a>0,b>0,c<0，即可判断①；易得y=ax2+bx+c向上平移c个到位长度得到y=ax2+bx，则y=ax2+bx的对称轴也为直线x=−1，根据x1+x2<−2，得出x1+x22<−1，则Ex1,y1离对称轴的距离大于Fx2,y2离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点C′，连接C′D，交x轴于点P，把A−3,0代入y=ax2+bx+c得到0=9a−3b+c，根据对称轴得到b=2a，则c=−3a，进而得出C′0,3a，把x=−1代入y=ax2+bx+c得出D1,−4a，用待定系数法求出直线C′D的函数解析式为y=7ax+3a，即可判断③；由图可知，当2b−4<−4a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b−4没有交点，则原方程无实数根，求出b<1，结合b>0，即可判断④．
【详解】解：由图可知，
∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，
∴a>0,b>0,c<0，
∴abc<0，故①不正确，不符合题意；
∵y=ax2+bx+c向上平移c个到位长度得到y=ax2+bx，
∴y=ax2+bx的对称轴也为直线x=−1，
∵x1+x2<−2，
∴x1+x22<−1，
∵x1∴Ex1,y1离对称轴的距离大于Fx2,y2离对称轴的距离，
∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴y1>y2，故②不正确，不符合题意；
作点C关于x轴对称的对应点C′，连接C′D，交x轴于点P，
把A−3,0代入y=ax2+bx+c得：0=9a−3b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，则b=2a，
∴0=9a−6a+c，整理得：c=−3a，
∴C0,−3a，则C′0,3a，
把x=−1代入y=ax2+bx+c得：y=a−b+c=a−2a−3a=−4a，
∴D1,−4a，
设直线C′D的函数解析式为y=mx+n，
把C′0,3a，D−1,−4a代入得：
3a=n−4a=−m+n，解得：m=7an=3a,
∴直线C′D的函数解析式为y=7ax+3a，
把y=0代入得：0=7ax+3a，
解得：x=−37，
∴P−37,0，故③正确，符合题意；

方程ax2+bx−2+c=−4a≠0整理为 ax2+bx+c=2b−4，
∵D−1,−4a，
由图可知，当2b−4<−4a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b−4没有交点，
则原方程无实数根，
∵b=2a，
∴2b−4<−2b，
解得：b<1，
∵b>0，
∴b的取值范围为0综上：正确的有③，共1个，
故选：A．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键．
9.【答案】1
【解析】【分析】将x=1代入方程，求解即可．
【详解】解：将x=1代入方程mx2+2x−3=0可得：m+2−3=0
解得m=1
故答案为：1
此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解方程根的含义，使方程左右两边相等的未知数的值为方程的解或根．
10.【答案】>
【解析】【分析】根据概率公式分别求出摸到红桃的机会和摸到J，Q，K的机会，比较即可．
【详解】解：∵一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的机会为1352=14；
因为一副去掉大小王的扑克牌(共52张)共有J，Q，K，12张，1252=313；
∴摸到红桃的机会大于摸到J，Q，K的机会．
故答案为：>
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率PA=mn．
11.【答案】−2
【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程m−2xm+8x+2m=0是一元二次方程，
∴m=2，m−2≠0，
解得m=−2；
故答案为：−2．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
12.【答案】变小
【解析】【分析】先根据平均数的定义求出x的值，然后根据方程的定义求出前后数据的方差即可得到答案．
【详解】解：∵一组数据2、3、5、6、x的平均数是4，
∴2+3+5+6+x5=4，
∴x=4，
∴再添加一个数x，即添加一个数4得到的新数据的平均数还是4，
∵原方差为2−42+3−42+4−42+5−42+6−425=2，新方差为2−42+3−42+2×4−42+5−42+6−426=53，
∴方差变小了，
故答案为：变小．
本题主要考查了平均数和方差，熟知二者的定义是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后解出与x轴交点对应的x的值．
【详解】解：∵抛物线的顶点4,3.6，
设抛物线的解析式为：y=ax−42+3.6，
把0,2代入解析式得16a+3.6=2，
解得：a=−110，
∴抛物线的解析式为：y=−110x−42+3.6，
当y=0时，−110x−42+3.6=0
解得：x1=−2(舍去)，x2=10，
即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米；
故答案为：10．
14.【答案】−1,0,−5,0
【解析】【分析】由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为−1,−5，再结合在x轴上的点的纵坐标为0即可得到与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1=−1,x2=−5，
又一元二次方程ax2+bx+c=0的两根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点坐标为−1,0,−5,0．
故答案为：−1,0,−5,0
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需明确二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
15.【答案】72
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵点A的坐标为0,2，点B的坐标为4,2，
∴AB=4，
∵抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB=2，
∴设点C的坐标为c,2，则点D的坐标为c+2,2，h=2c+22=c+1，
∴抛物线2=−32c−(c+1)2+k，
解得，k=72．
故答案为：72．
16.【答案】0【解析】【分析】本题考查求二次函数最值问题，解题关键是先由抛物线经过(1,−1)，(−1,1)得出y=ax2−x−a，进而求出抛物线对称轴为直线x=12a，分类讨论12a≥1与0<12a<1两种情况的函数最值，进而求解．
【详解】解：把(1,−1)，(−1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=−1①a−b+c=1②,
由①+②得a+c=0，
①−②得b=−1，
∴y=ax2−x−a，
∴抛物线对称轴为直线x=12a，
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
当12a≥1，即0x=−1时，y取最大值为1，
当0<12a<1时，x=12a时y取最小值a(12a)2−12a−a=−1，
解得a=12(舍去)，
故答案为：017.【答案】【小问1详解】
3x−52+2x−5=0
3x−5+2x−5=0
3x−13x−5=0
3x−13=0或x−5=0
解得x1=133，x2=5
【小问2详解】
(x−1)⋅x+3=12
x2+2x−3=12
x2+2x+1=16
x+12=16
x+1=4或x+1=−4
解得x1=3，x2=−5
【小问3详解】
2x2+8x−7=0
x2+4x=72
x2+4x+4=72+4
x+22=152
x+2= 302或x+2=− 302
解得x1= 302−2，x2=− 302−2
【小问4详解】
2x2−2 2x+1=0
2x−12=0
x1=x2= 22

【解析】【分析】(1)运用因式分解法解一元二次方程即可；
(2)根据配方法解一元二次方程即可；
(3)根据配方法解一元二次方程即可；
(4)运用因式分解法解一元二次方程即可
本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)蓝色球有：(30−6)÷3=8(个)，
所以P(摸出1个球是蓝色球)=830=415；
(2)设再往箱子中放入x个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为12，则2(x+8)=x+30，
解得，x=14，
答：再往箱子中放入14个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为12．

【解析】【分析】(1)首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可；
(2)设再往箱子里放入x个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为12，根据题意得2(x+8)=x+30，求出x的值即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中时间A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
19.【答案】(1)∵△=(m+3)2−4(m+2)
=(m+1)2
∴无论m取何值，(m+1)2恒大于等于0
∴原方程总有两个实数根
(2)原方程可化为：(x−1)(x−m−2)=0
∴x1=1，x2=m+2
∵方程两个根均为正整数，且m为负整数
∴m=−1．

【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．
本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程．
20.【答案】【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的对称轴是直线x=−3+12=−1，而C、D关于直线x=−1对称，
∴D(−2,3)；
【小问2详解】
解：设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)，
把C(0,3)代入，得
3=a(0+3)(0−1)，
解得a=−1，
所以该抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3，
即y=−x2−2x+3；
【小问3详解】
解：根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是：−2
【解析】【分析】(1)利用点C、D是二次函数图象上的一对对称点，可得出D点的坐标；
(2)设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)，然后将点C的坐标代入来求a的值；
(3)在坐标系中利用x取相同值，比较出对应值的大小，从而确定，两函数的大小关系．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，以及待定系数法求二次函数解析式和利用自变量的取值范围确定函数值大小关系，题目难度不大，非常典型．
21.【答案】(1)这家庭的平均月用水量是(10×2+13×2+14×3+17×2+18)÷10=14(吨)；
(2)根据题意得：14×500=7000(吨)，
答：该小区居民每月共用水7000吨．

【解析】【分析】(1)根据加权平均数的计算公式即可得出答案；
(2)用每月每户的用电乘以总的户数即可得出答案．
此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是加权平均数的计算公式和用样本估计总体．
22.【答案】(1)设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：50−x10−4040≥10%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
(2)由题意得：5000(1+203m%)[50(1−3m%)+m−40]=49000，
整理得：m25m6=0，
m1=6，m2=−1(舍)．

【解析】【分析】(1)设打x折销售，根据利润率=售价−成本成本⩾10 0/0，列不等式求解可得结论；
(2)等量关系为：(售价−成本) ×销售量=利润;零售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售203m%，依此列出方程，解方程即可．
本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用，根据每箱脐橙的利润率不低于10%找出不等量关系是解答(1)的关键；根据每天脐橙销售的利润为49000元找出等量关系是解答(2)的关键．
23.【答案】【小问1详解】
画树状图如下：
共有9种等可能性．
【小问2详解】
因为二次函数的图像的对称轴在y轴右侧，
所以ab<0，
符合条件的 有4种等可能性，
所以二次函数的图像的对称轴在y轴右侧的概率为49．
【小问3详解】
因为二次函数的图像的对称轴在y轴右侧，且开口向下，
所以a=−1,b=1或a=−1,b=2．
所以y=−x2+x+3=−(x−12)2+134或y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
所以抛物线的最大值为134或4．

【解析】【分析】(1)画树状图计算即可．
(2)ab<0符合条件的有4种等可能性，根据公式法计算概率即可．
(3)根据解析式，配方计算即可．
本题考查了概率的计算，二次函数的最大值，熟练掌握画树状图，配方法求最值是解题的关键．
24.【答案】【小问1详解】
解：设抛物线解析式为y=ax2+k，
由题意得：双手D，E相距60厘米，
∴D−30,0，E30,0，
∵双手D，E离地均为80厘米，脚底B，C相距20厘米，
∴C10,−80，
把C10,−80、E30,0代入y=ax2+k得：100a+k=−80900a+k=0,
解得：a=110k=−90,
∴抛物线解析式为y=110x2−90；
【小问2详解】
解：由(1)得：抛物线解析式为y=110x2−90，
当x=0时，y=−90，
∴顶点坐标为0,−90，
即跳绳顶点到手的垂直距离是90厘米，
∵头顶A离地174厘米，
∴174−90=84<90，
∴跳绳不过头顶A，
∴小明此次跳绳成功．

【解析】【分析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+k，根据题意求出C点、E点的坐标，代入抛物线解析式即可求解；
(2)由174−90=84<90，跳绳不过头顶A，即可得到答案．
本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解题的关键．
25.【答案】【小问1详解】
解：①6x2−5x+1=0，
即2x−13x−1=0，
解得：x1=12,x2=13，
∵12−13=12×13，
∴6x2−5x+1=0是差积方程；
②x2−4x=0，
即xx−4=0，
解得：x1=0,x2=4，0没有倒数，故②不是差积方程；
③3x2+8x+4=0，
即3x+2x+2=0，
解得x1=−23,x2=−2，
∵−2+23=43=−23×−2，
∴3x2+8x+4=0是差积方程；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：x2−(m+2)x+2m=0，
即x−2x−m=0，
解得：x1=2,x2=m，
∵x2−(m+2)x+2m=0是差积方程，
∴2−m=2m，
即2−m=2m或2−m=−2m．
解得：m=23或−2，
【小问3详解】
解：ax2+bx+c=0(a≠0)，
解得：x=−b± b2−4ac2a，
∴x1=−b+ b2−4ac2a,x2=−b− b2−4ac2a，
∵ax2+bx+c=0(a≠0)是差积方程，
∴x1−x2=x1x2，
即 b2−4aca=ca，
即b2−4ac=c2．

【解析】【分析】(1)分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
(2)先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
(3)根据求根公式求得x1,x2根据新定义列出方程即可求解．
本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
26.【答案】【小问1详解】
解：根据题意，将点A−1,0,B0,2,C4,0代入函数y=ax2+bx+c，
可得0=a−b+c2=c0=16a+4b+c，解得a=−12b=32c=2,
∴该二次函数的解析式为y=−12x2+32x+2；
【小问2详解】
设直线BC的函数解析式为y=kx+m(k≠0)，
将点B0,2,C4,0代入，
可得2=m0=4k+m，解得k=−12m=2,
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+2，
设点P(x,−12x2+32x+2)，
则S▵BCP=12×[(−12x2+32x+2)−(−12x+2)]×4
=−x2+4x
=−(x−2)2+4，
∵−1<0，
∴当x=2时，▵BCP的面积最大，最大值为4，
此时yP=−12×22+32×2+2=3，
即P点的坐标为(2,3)；
【小问3详解】
点N坐标为(1,0)或(7,0)或( 41−52,0)或(− 41−52,0)，理由如下：
对于二次函数y=−12x2+32x+2，若y=2时，
可有2=−12x2+32x+2，
解得x1=0，x2=3，
∴点B(0,2)关于该二次函数图象的对称轴的对称点为(3,2)，
若四边形BMCN 是 平行四边形，如下图，

则BM//NC，BM=NC，
∴M(3,2)，NC=BM=3，
∴ON=OC−NC=4−3=1，
此时，点N的坐标为(1,0)；
若四边形BMNC是平行四边形，如下图，

∴M(3,2)，NC=BM=3，
∴ON=OC+NC=4+3=7，
此时，点N的坐标为(7,0)；
设N(n,0)
若四边形BNMC为平行四边形，如下图，

则BC//NM，BC=NM，
∵点B向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点C，
∴点N向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得到点M，
∴M(n+4,−2)，
∵点M为二次函数上一点，
∴−2=−12(n+4)2+32(n+4)+2，
解得n=−5± 412，
∴此时，点坐标为( 41−52,0)或(− 41−52,0)，如下图所示，

综上所述，点N的坐标为(1,0)或(7,0)或( 41−52,0)或(− 41−52,0)．

【解析】【分析】(1)利用待定系数法解二次函数解析式即可；
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+m(k≠0)，利用待定系数法解得直线BC的函数解析式为y=−12x+2，然后设点P(x,−12x2+32x+2)，可得S▵BCP=12×[(−12x2+32x+2)−(−12x+2)]×4=−(x−2)2+4，利用二次函数的图像与性质即可获得答案；
(3)结合平行四边形的性质，分四边形BMCN为平行四边形、四边形BMNC是平行四边形以及四边形BNMC为平行四边形多种情况，分别作出图形求解即可．
本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题．
27.【答案】【小问1详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+3的顶点坐标为−1,4，
∴−b2a=−1a−b+3=4
解得：a=−1b=−2,
∴y=−x2−2x+3；
【小问2详解】
令y=0，得−x2−2x+3=0．
解得：x1=−3,x2=1．
∴A1,0,B−3,0.
∴OB=OC，
∴∠CBO=45∘，
∵S▵CPD=S▵BPD=1：2，
∴BD=23BC=23×3 2=2 2.
过点D作DK⊥x轴于点K，

∴点D到x轴的距离为DK= 22BD=2，BK=DK=2
∵B−3,0，则OK=1，
∴点D−1,2；
【小问3详解】
设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE=15∘，∠PEG=2∠OGE=30∘，
∴∠OHE=45∘，
∴OH=OE=1．
则直线HE的表达式为y=−x−1
联立y=−x2−2x+3y=−x−1
解得x=−1± 172(舍去正值)．
故点P−1− 172,−1+ 172
【小问4详解】
∵▵AOC绕点M逆时针旋转90∘，
∴C1O1//x轴，O1A1//y轴．
如图1，当点C1,O1在抛物线上时，
设点C1的横坐标为x，则点O1的横坐标为x+3．
∴−x2−2x+3=−x+32−2x+3+3.
解得x=−52，则点C1−52,74
如图2，当点C1，A1在抛物线上时，
设点C1的横坐标为x，则点A1的横坐标为x+3，
点A1的纵坐标比点C1的纵坐标大1，
∴−x2−2x+3=−x+32−2x+3+3−1.
解得x=−83．
则点C1−83,119
∴点C1的坐标为−52,74或−83,119


【解析】【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据抛物线解析式求得A,B的坐标，进而得出∠CBO=45∘，根据S▵CPD=S▵BPD=1:2得出则点D到x轴的距离为2，即可得出点D的坐标；
(3)设直线PE交x轴于点H，求得直线HE的表达式为y=−x−1，联立y=−x2−2x+3y=−x−1并解得x=−1± 172(舍去正值)，即可求解．
(4)依题意，C1O1//x轴，O1A1//y轴．当点C1,O1在抛物线上时，设点C1的横坐标为x，则点O1的横坐标为x+3.得出点C1−52,74，当点C1，A1在抛物线上时，同理可得C1−83,119．
本题考查了二次函数综合问题，面积问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
月用水量/吨
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1