2023-2024学年江苏省南通市海门区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.将抛物线y=(x−1)2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是( )
A. (−1,5)B. (−1,−1)C. (3,−1)D. (3,5)
3.若α，β是方程x2−3x−2017=0的两个实数根，则代数式α2−2β−5α的值为
( )
A. −2011B. −2013C. 2011D. 2023
4.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A−3,9，B1,1，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为
( )
A. x1=−1，x2=3B. x1=9，x2=−3
C. x1=1，x2=9D. x1=1，x2=−3
5.如图，AB是⊙O的直径，AD⌢=CD⌢，∠COB=40∘，则∠A的度数是
( )
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘
6.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是
( )
A. 12B. 13C. 16D. 29
7.如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是
( )
A. 2,2 3B. 1,2 3C. 2, 3D. (2,4)
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70∘，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角为
度．( )
A. 30B. 40C. 45D. 50
9.如图，▵ABC的顶点均在⊙O上，且AB=AC，∠BAC=120∘，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF/​/AB.若⊙O的半径为2，则弦EF的长是( )
A. 3 5B. 2 13C. 13D. 2 17
10.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC⌢的中点，点D是优弧BC⌢上一点，且∠D=30∘，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=3 3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是
( )
A. ①③B. ①②③④C. ②③④D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.平面直角坐标系中，若点Am−1,−3，B2,n关于原点对称，则m+n=______．
12.抛物线y=2x2−12x+11的顶点坐标是________．
13.在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有_______个．
14.一个圆锥的底面半径为3cm，高为2cm，则它的侧面积是__________________cm2．
15.如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为________．
16.已知点A(2,4)，B(0,1)，点M在抛物线y=14x2上运动，则AM+BM的最小值为___．
17.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c>0)经过(1,−1)，(3,0)两点．下列结论：①a>0；②4a+b=12；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1的两实数根分别是x1，x2(x10)，每月能售出___个台灯．
(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
(3)月获利能否达到9600元，说明理由．
23.(本小题8分)
如图，点O是等边▵ABC内一点，将▵BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当∠AOC=105∘，∠BOC=150∘时，试判断▵AOD的形状
24.(本小题8分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．

(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2，连结OC，若OC⊥CE，∠EAD=60∘，AC=2 3，求AD、AC与弧CD围成阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E．
(1)证明：直线PD是⊙O的切线；
(2)如果∠BED=60°，PD= 3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
26.(本小题8分)
如图1、2是两个相似比为1： 2等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置

(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4.求证：AE2+BF2=EF2；
(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立；
(3)如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足ΔCEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，并给出证明；若不能
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故 A不符合题意；
B.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转180∘后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故 B不符合题意；
C.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故 C符合题意；
D.沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转180∘后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故 D不符合题意．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了二次函数平移，先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，
∵向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,−1)．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】先根据方程根的定义得到α2=3α+2017，则α2−2β−5α=2017−2α+β，再根据根与系数的关系得到α+β=3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵α是方程x2−3x−2017=0的根，
∴α2−3α−2017=0，即α2=3α+2017，
∴α2−2β−5α=3α+2017−2β−5α=2017−2α+β，
∵α，β是方程x2−3x−2017=0的两个实数根，
∴α+β=3，
∴α2−2β−5α=2017−2×3=2011．
故选：C．
本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根，x1+x2=−ba,x1x2=ca.也考查了一元二次方程根的定义．
4.【答案】D
【解析】【分析】直接根据图像求解即可．
【详解】解：∵ax2−bx−c=0，
∴ax2=bx+c,，
∴方程ax2−bx−c=0的解为抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的横坐标，
∵两个交点坐标分别为A−3,9，B1,1，
∴方程ax2−bx−c=0的解为x1=1，x2=−3．
故选D．
本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据AD⌢=CD⌢，得出∠AOD=∠DOC，计算∠AOD=180∘−∠COB2，根据OA=OD，计算∠A=∠D=180∘−∠AOD2，选择答案即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AD⌢=CD⌢，∠COB=40∘，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AOD=180∘−∠COB2=70∘，
∵OA=OD，
∴∠A=∠D=180∘−∠AOD2=55∘．
故选：B．
本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率=39=13，
故选：B．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7.【答案】A
【解析】【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出MO=2OH=4，再由勾股定理确定MH= OM2−OH2=2 3即可得出结果．
【详解】解：如图所示，作OE、CD 的 垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH=HE=2，▵OME为等边三角形，∠OMH=30∘,
∴MO=2OH=4，
∴MH= OM2−OH2=2 3
∴点M的坐标为：2,2 3
故选：A．
题目主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】由旋转的性质可知：平行四边形ABCD全等于平行四边形A1BC1D1，得出BC=BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1=∠C1=70∘，根据三角形内角和计算旋转角∠CBC1即可．
【详解】∵平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，
∴BC=BC1，
∴∠BCC1=∠C1，
∵在平行四边形ABCD中，∠A=70∘，
∴∠C=∠A=∠C1=70∘，
∴∠BCC1=∠C1=70∘，
∴∠CBC1=180∘−2×70∘=40∘，
故选：B．
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
9.【答案】C
【解析】【分析】连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，先根据垂径定理证明OA垂直平分BC，则OA经过点D，再根据等腰三角形的“三线合一”证明∠OAB=∠OBA=60∘，则▵AOB是等边三角形，由EF/​/AB，得∠ODH=∠OAB=60∘，则∠DOH=30∘，求出DH和OH的长，即可根据勾股定理求得EH=FH= 132，则EF= 13．
【详解】连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD=∠OHF=90∘，
∵AB=AC，
∴AB⌢=AC⌢，
∴OA垂直平分BC，
∵D为弦BC的中点，
∴BD=CD，OA经过点D，
∵∠BAC=120∘，
∴∠OAB=∠OBA=12∠BAC=60∘，
∵OA=OB=2，
∴▵AOB是等边三角形，
∵OA⊥BC于点D，
∴OD=AD=12OA=1，
∵EF//AB，
∴∠ODH=∠OAB=60∘，
∴∠DOH=30∘，
∴DH=12OD=12，
∴OH= OD2−DH2= 12−(12)2= 32，
∵OF=2，
∴EH=FH= OF2−OH2= 132，
∴EF= 13，
故选：C．
此题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60∘，则▵OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC=6 3cm，则可对②进行判断；通过判断▵AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对③进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对④进行判断．
【详解】解：∵点A是劣弧BC⌢的中点，
∴OA⊥BC，所以①正确；
∵∠AOC=2∠D=60∘，OA=OC，
∴▵OAC为等边三角形，
∴BC=2×6× 32=6 3，所以②错误；
同理可得▵AOB 为 等边三角形，
∴∠AOB=60∘，
∴∠BOC=120∘，
∴扇形OCAB的面积为120×π×62360=12π，所以③正确；
∵AB=AC=OA=OC=OB，
∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．
故选D．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
11.【答案】2
【解析】【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px,y关于原点O的对称点是P′−x,−y，进而得出m，n的值．
【详解】解：∵点Am−1,−3，B2,n关于原点对称，
∴m−1=−2−3=−n,
解得m=−1n=3,
∴m+n=2．
故答案为：2．
本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12.【答案】3,−7
【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵y=2x2−12x+11=2x−32−7，
∴抛物线的顶点坐标是3,−7．
故答案为：3,−7．
本题主要考查二次函数顶点式，解题的关键在于熟练掌握配方法．
13.【答案】18
【解析】由频率估计概率的知识可知从袋子中摸出白球的概率为0.36．
因此袋中白球的数量为：50×0.36=18(个)．
故答案为18．
14.【答案】3 13π
【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积计算公式应用．利用勾股定理可得圆锥母线长，则圆锥侧面积=12底面周长×母线长．
【详解】由勾股定理知：圆锥母线长= 32+22= 13cm，
则圆锥侧面积=12×6π× 13=3 13πcm2．
故答案为：3 13π．
15.【答案】9−π
【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积．如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N.证明OM=ON，▵EOM≌▵FON，可得S▵EOM=S▵FON，S四边形AEOF=S正方形AMON，从而可得答案．
【详解】如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N．

∵点O是正方形ABCD的中心，OM⊥AB，ON⊥AD，
∴OM=ON，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90∘，即∠EOM+∠MOF=90∘，
∵∠A=∠AMO=∠ANO=90∘，
∴∠MON=90∘，即∠FON+∠MOF=90∘，
∴∠EOM=∠FON，
∴▵EOM≌▵FON(ASA)，
∴S▵EOM=S▵FON，
∴S四边形AEOF=S正方形AMON，
∴S阴影=14S正方形ABCD−S⊙O=14×62−π×22=9−π．
故答案为：9−π．
16.【答案】5
【解析】【分析】设点M(m,14m2)，用含m代数式表示BM=14m2+1，可得点M到点B的距离与点M到直线y=−1的距离相等，进而求解．
【详解】解：设点M(m,14m2)，
则点M到x轴距离为14m2，BM= (m−0)2+(14m2−1)2=14m2+1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y=−1的距离相等，
∵点A横坐标为x=2，
∴点M为直线x=2与抛物线交点，
如图，设直线x=2与直线y=−1交点B′(2,−1)，
∴AB′为AM+BM最小值，AB′=4−(−1)=5，
故答案为：5．
本题考查了最短路线和二次函数的问题，做题的关键是利用轴对称解决最短路线．
17.【答案】①②③
【解析】【分析】①根据抛物线与x、y轴的交点情况分析即可解答；②由抛物线过(1,−1)，(3,0)两点可得，−1=a+b+c，0=9a+3b+c，然后作差即可判断；③根据题意画出函数图象示意图，然后据图分析即可解答；④根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：由y=ax2+bx+c经过(1,−1)，(3,0)两点．
∴a+b+c=−1，9a+3b+c=0，
两式相减得：8b+2b=1，
则b=1−8a2，
∴a+1−8a2+c=−1，
解得：a=2+c6，
∵c>0，
∴a=2+c6>0，故①正确，
∵b=1−8a2，
∴4a+b=4a+1−8a2=8a+1−8a2=12，故②正确；

如上图：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1的两实数根为y=ax2+bx+c与y=1交点的横坐标，
即x3，则③正确；
由于抛物线的对称轴不确定，则点(2.5,n)的值无法和−1比较，即④错误；
故答案为 ：①②③．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式．
18.【答案】 7−1##−1+ 7
【解析】【分析】连接ON，AC，CQ，证明点N在以OA为直径的圆上，设为⊙Q，连接CQ，与⊙Q的交点即为N点，此时CN最小，且最小值为CQ−QN，解直角三角形求出CQ，即可得出答案．
【详解】解：连接ON，AC，CQ，如图所示：

∵点N是AM的中点，
∴ON⊥AM，
∴点N在以OA为直径的圆上，设为⊙Q，
∴OQ=AQ=QN=1，
连接CQ，与⊙Q的交点即为N点，此时CN最小，且最小值为CQ−QN，
作OP⊥AC于P，QH⊥AC于H，
∵OA=OC，
∴P是AC的中点，
∵∠AOC=120∘，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，
∴AP=OA⋅cs30∘= 32×2= 3，
AQ=12OA=1，
∴AC=2AP=2 3，
∵∠AHQ=90∘，∠QAH=30∘，
∴AH=AQ×cs30∘=1× 32= 32，QH=12AQ=12，
∴CH=AC−AH=2 3− 32=3 32，
∴CQ= CH2+HQ2= 122+3 322= 7，
∴CN的最小值为 7−1，
故答案为： 7−1．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
19.【答案】【小问1详解】
解：∵x−32=4，
∴x−3=±2，
解得x1=1,x2=5；
【小问2详解】
解：∵x2−2x−8=0，
∴x2−2x=8，
∴x2−2x+1=8+1，
∴x−12=9，
∴x−1=±3
解得x1=4,x2=−2．

【解析】【分析】(1)利用开平方的方法解方程即可；
(2)利用配方法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】【 小问1详解】
∵y=x2+2x=(x2+2x+1)−1=(x+1)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−1)；
【小问2详解】
当x=0时，y=x2+2x=0，
当y=0时，x2+2x=0解得x1=0，x2=−2，则抛物线与x轴的交点坐标为(−2,0)，
当x=−1时，y=−1，
描出特殊点(0,0)(−1,−1)，(−2,0)，画出图象如下：
【小问3详解】
由图象可得，当x0)，每月能售出600+200x个台灯；
(2)设每个台灯的售价为x元，
由题意得：(x−30)[600+200(40−x)]=8400，
解得：x1=36，x2=37，
当x=36时，600+200(40−x)=1400>1210(舍去)，
当x=37时，600+200(40−x)=1200