2022-2023学年江西省九江市都昌县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省九江市都昌县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在0，3，−1，−3这四个数中，最小的数是( )
A. 0B. 3C. −1D. −3
2.下列计算正确的是( )
A. x3+x4=x7B. y−2=−2y
C. (−3a2b)3=−27a6b3D. m3⋅m3=2m3
3.2022年12月27日上午，都昌县举行新材料及智能装备产业园项目开工仪式，都昌新材料与智能装备产业园共有五个项目，总投资195亿元，数据195亿用科学记数法可表示为( )
A. 19.5×109B. 1.95×108C. 195×108D. 1.95×1010
4.某同学各科成绩如图所示，则其成绩的中位数是( )
A. 75分B. 75.5分C. 76分D. 77分
5.一副直角三角板按如图所示的方式放置(BC与EF重合)，将三角板DEF绕点C逆时针旋转α(α<90°)，当AC/​/DE时，α=( )
A. 5°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
6.已知抛物线y=x2−4x与直线y=kx+3(k>0)交于A(a,y1)，B(b,y2)两点(点A在y轴的左侧)，则下列说法错误的是( )
A. y2>y1B. y1=a2−4aC. a+b>4D. b−a=6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.− 3的绝对值是______．
8.分解因式：9n−6nx+nx2= ______．
9.若方程x2−2x−1=0的两个根x1、x2，则1x1+1x2的值为______．
10.对于一次函数y=kx−k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是______．
11.已知两个边长为 6的等边三角形ABC与BDE按如图所示的方式放置，且A、B、D在同一条直线上，连接AE，则AE的长为______．
12.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC、BD相交于点O，BD=16，点P是AD上一点，AP=6，Q为BD上一动点，若以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则BQ的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
13.如图，▱ABCD中，A，B，C三点在⊙O上，点O在AD边上，点E在⊙O外，OE⊥BC，垂足为F．
(1)∠A=65°，∠ECB=40°，求证：EC是⊙O的切线；
(2)若OF=4，OD=1，求AB的长．
四、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
(1)计算：(x+2)(x−2)−(x−1)2；
(2)解不等式：x−1≥x−22+3．
15.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=2BO，且BD为∠ABC的平分线，求证：平行四边形ABCD为正方形．
16.(本小题6分)
如图，已知点E是菱形ABCD的边AD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)在图(1)中，作一个以AE为边的平行四边形；
(2)在图(2)中，作一个以AE为对角线的平行四边形．
17.(本小题6分)
将身高相同的40名同学平均随机排成四个队列组成学校的仪仗队进行表演，小红和小明是其中的两名同学(不考虑其它因素)．
(1)小红在第一队列是______事件(填“随机”、“必然”或“不可能”)，该事件发生的概率是______；
(2)请用画树状图法或列表法求小红与小明在同一队列的概率．
18.(本小题6分)
“五一”劳动节快到了，滨湖学校几位同学相约去看动漫电影，他们只有400元钱用来购票，下面是两位同学的对话：
刘晶：如果今天就去看，每人买一张票，就会差一张票的钱．
张洁：过两天就是“五一”劳动节，到时候票价会打八折，每人一张票，还能剩16元钱呢！
请你根据以上信息，求出想去看动漫电影的学生人数．
19.(本小题8分)
某数学兴趣小组就周六早晨6点至7点在市民公园参加锻炼的各年龄段人群做了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．

根据以上信息回答下列问题：
(1)扇形统计图中圆心角α的度数为______，并补全条形统计图．
(2)该公园周六早晨6点至7点约有1000人进园锻炼，估计该公园周六约有多少青年人进园锻炼，你想对现在的青年人说些什么？
(3)通过问卷了解到周六早晨6点至7点到公园参加锻炼的5个少年人的年龄依次是14，16，15，16，17，求这组数据的中位数及众数．
20.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象交于点A(1,6)，B(b,−2)，点C在x轴上，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC=BC．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标．
21.(本小题8分)
图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=100cm，CD/​/EF，∠CDE=140°，∠CGF=25°．
(1)判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)求CG的长.(参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47)
22.(本小题9分)
已知抛物线y=x2，若把抛物线y=x2的顶点沿直线y=x在第一象限内平行到点An(n,n)(n为非负整数)，得到相应的抛物线为yn，抛物线yn与y轴的交点为Dn．
(1)若A1(1,1)，求抛物线C1的解析式和点D1的坐标；
(2)填空：①当n=2时，A2(2,2)，D2的坐标为______；
②当n=3时，A3(3,3)，D3的坐标为______；
③根据①、②的结论，写出出Dn的坐标为______．
(3)过A2016作A2016B⊥y轴，垂足为B，若△A2016DnB是等腰直角三角形，求n的值．
23.(本小题12分)
我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，在△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= ______BC．
②如图3，当∠BAC=90°，BC=18时，则AD长为______．
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2 3，DA=6，在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−1|=1，|−3|=3，
∴四个数0，3，−1，−3中，两个负数中−3的绝对值最大，
所以最小的数为−3．
故选D．
根据负数小于0和正数，得到最小的数在−1和−3中，然后比较它们的绝对值即可得到答案．
本题考查了有理数的大小比较：负数小于0和正数，0小于正数；负数的绝对值越大，这个数越小．
2.【答案】C
【解析】解：A、x3与x4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、y−2=1y2，此选项不符合题意；
C、(−3a2b)3=−27a6b3，此选项符合题意；
D、m3⋅m3=m6，此选项不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项、负整数指数幂、积的乘方、同底数幂相乘的法则进行判断正误即可．
本题考查了合并同类项、负整数指数幂、积的乘方、同底数幂相乘等运算法则，掌握相应的运算法则是关键．
3.【答案】D
【解析】解：195亿=19500000000=1.95×1010．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，看把原数编程a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】C
【解析】解：由折线统计图可知，某同学各科成绩为：75，68，86，72，62，77，82，90，
然后将这些数据库按从小到大排列为：62，68，72，75，77，82，86，90，
∵中间两个数为75，77，
∴某同学各科成绩的中位数是75+772=76(分)，
故选：C．
由折线统计图可知，某同学各科成绩为：75，68，86，72，62，77，82，90，然后将这些数据库按从小到大排列，取中间两个数的平均数即可求解．
本题考查折线统计图，中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为AC/​/DE，
所以∠ACE=∠CED，
所以α=45°−30°=15°，
故选：B．
若要AC/​/DE，则内错角∠ACE=∠CED，从而得到α=45°−30°，
本题考查特殊的三角板旋转和平行线的性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由y=kx+3(k>0)可知，直线过(0,3)且y随x的增大而增大，
由y=x2−4x=(x−2)2−4可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标(2,−4)，
由两图象交于A(a,y1)，B(b,y2)两点(点A在y轴的左侧)可知a将A(a,y1)坐标代入y1=a2−4a，故选项B正确；
将B(b,y2)坐标代入y2=b2−4b，由y1∴(a2−4a)−(b2−4b)<0，即(a−b)(a+b−4)<0，
∵a−b<0，
∴a+b>4，故选项C正确；
∵y1∴b−a2>2，即b−a>4，选项D不正确．
故选：D．
根据二次函数和一次函数的性质及题目条件，分别剖析A、B、C选项正确，排除法得到选项D错误．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
7.【答案】 3
【解析】解：|− 3|= 3．
故本题的答案是 3．
根据“负数的绝对值是其相反数”即可求出结果．
此题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
8.【答案】n(x−3)2
【解析】解：原式=n(9−6x+x2)
=n(x−3)2．
故答案为：n(x−3)2．
直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
9.【答案】−2
【解析】解：由题意得：x1+x2=−−21=2,x1⋅x2=−11=−1，
1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2−1=−2，
故答案为：−2．
一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca，据此可求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
10.【答案】(1,4)
【解析】解：y=kx−k+4=(x−1)k+4，
当x−1=0，即x=1时，无论k为何值，y的值都为4，
因此这个点的坐标是(1,4)．
故答案为：(1,4)．
将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4，即可求解．
本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是将y=kx−k+4变形为y=(x−1)k+4．
11.【答案】3 2
【解析】解：由题意得：AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠EBD=∠BAE+∠BEA=60°，
∴∠BEA=12∠EBD=30°，
∴∠AED=∠BEA+∠BED=90°，
∵DE= 6,AD=AB+BD=2 6，
∴AE= AD2−DE2=3 2，
故答案为：3 2．
由AB=BE可推出∠BAE=∠BEA，进而可求出∠AED=90°，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理的应用等．根据条件得出∠AED=90°是解题关键．
12.【答案】8或294或64−6 215
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=16，
∴OA=OC，OB=OD=8，AC⊥BD，AB=10，
∴OA=OC= AB2−OB2=6，
当AP=AQ=6时，
∵AP=AO=6，Q为BD上一动点，
∴点Q与点O重合，此时BQ=8；
当AQ=PQ时，如图，过点Q作QF⊥AD于点F，则AF=PF=3，
∴DF=7，
∵∠QFD=∠AOD=90°，∠QDF=∠ADO，
∴△QDF∽△ADO，
∴ADQD=ODFD，即10QD=87，
∴QD=354，
∴BQ=16−354=294；
当AP=PQ=6时，如图，过点P作PE⊥BD于点E，
∴OA//PE，
∴△AOD∽△PED，
∴ADPD=AOPE=ODED，即1010−6=6PE=8ED，
∴PE=125,ED=165，
∴ 62−(125)2=6 215，
∴BQ=16−6 215−165=64−6 215；
综上所述，BQ的长为8或294或64−6 215．
故答案为：8或294或64−6 215．
分三种情况讨论：当AP=AQ=6时，当AQ=PQ时，当AP=PQ=6时，根据勾股定理及相似三角形的判定与性质即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
13.【答案】(1)证明：连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ABC=180°−∠A=180°−65°=115°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=65°，
∴∠OBC=115°−65°=50°，
∴∠OCB=50°，
∴∠OCE=∠OCB+∠ECB=50°+40°=90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
(2)解：作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD=r+1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=r+1，AD//BC，AB=CD，
∵OE⊥BC，
∴四边形ODHF为矩形，BF=CF=12(r+1)，
∴FH=OD=1，DH=OF=4，
在Rt△OCF中，42+14(r+1)2=r2，解得r1=−133(舍去)，r2=5，
在Rt△CDH中，∵CH=2，DH=4，
∴CD= 22+42=2 5，
∴AB=2 5．
【解析】(1)连接OB、OC，如图，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质计算出∠OCB=50°，则∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
(2)作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD=r+1，利用平行四边形的性质得BC=AD=r+1，AD//BC，AB=CD，再根据垂径定理得BF=CF=12(r+1)，在Rt△OCF中利用勾股定理得到42+14(r+1)2=r2，解方程得到r=5，然后在Rt△CDH中利用勾股定理计算CD即可得到AB的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了平行四边形的性质和垂径定理．
14.【答案】解：(1)原式=x2−4−(x2−2x+1)
=x2−4−x2+2x−1
=2x−5；
(2)2x−2≥x−2+6
2x−x≥−2+2+6
x≥6．
【解析】(1)根据完全平方公式以及平方差公式的运算法则计算即可；
(2)根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1，据此计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/CD，AC=2AO=2CO，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AC=2BO，
∴AO=BO=CO，
∴∠BAO=∠ABO，∠BCO=∠OBC，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=12(∠ABO+∠OBC+∠BAO+∠BCO)=12×180°=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠CDB=∠DBC，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD为正方形．
【解析】先证明∠ABC=90°，则平行四边形ABCD为矩形，再证明BC=CD，即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图(1)，平行四边形AFCE即为所求．(答案不唯一)

(2)如图(2)，平行四边形AFEG即为所求．(答案不唯一)

【解析】(1)连接AC、BD相交于点O，连接EO交BC于点F，连接AF、CE，平行四边形AFCE即为所求
(2)在(1)作图基础上，连接CE交BA的延长线于点G，连接AF，平行四边形AFEG即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】随机 14
【解析】解：(1)∵40名同学是随机排成四个队列，
∴小红在第一队列是随机事件，
∴该事件发生的概率为14．
(2)设四个队列分别为1，2，3，4，根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小红与小明在同一队列的结果有4种．
∴P(小红与小明在同一队列)=416=14．
(1)40名同学平均随机排成四个队列，小红在第一队列属于随机事件；小红有四个队列可以选择，因此概率为14．
(2)通过树状法列出所有的可能性，即可得到小红与小明在同一队列的概率．
本题考查概率的相关内容，会用表格法或者树状图法列出事件发生的所有可能结果是解题关键．
18.【答案】解：设想去看动漫电影的学生共有x人
根据题意得：400x−1×80%=400−16x
解得：x=6
经检验，x=6是原方程的根且符合题意．
答：想去看动漫电影的学生共6人．
【解析】设想去看动漫电影的学生共有x人，根据题意列方程求解即可．
本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列方程是解题的关键．
19.【答案】108°
【解析】解：(1)调查的总人数为：10÷20%=50(人)，
C类人数为：m=50−5−10−20=15(人)，
圆心角α的度数为：α=360°×1550=108°，
补图如下：
(2)1000×20%=200(人)，
我想对青年人说，加强锻炼，身体健康比什么都重要(答案不唯一)．
(3)数据按从小到大排列为：14，15，16，16，17，
则中间一个数为16，则中位数为16，
16出现的次数最多，则众数为16．
(1)根据用样本估计总体计算出总人数，即可计算出m，再根据圆心角的公式计算可得a的度数，即可补全条形统计图．
(2)根据青年人数占总人数的20%相乘计算即可．
(3)将数据从小到大排列出即可解答．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图，统计表是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将A(1,6)代入反比例函数y=kx中，得6=k1，
解得k=6，
故反比例函数的表达式为y=6x，
将B(b,−2)代入反比例函数y=6x中，
得−2=6b，
解得b=−3，
故B(−3,−2)，
将A(1,6)，B(−3,−2)代入一次函数y=mx+n中得：
6=m+n−2=−3m+n，
解得m=2n=4，
故一次函数解析式为y=2x+4；
(2)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，

则∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，
∵A(1,6)，B(−3,−2)，
∴CE=AD=6，E(−3,0)，
∴C(3,0)．
【解析】(1)将点A(1,6)代入反比例函数即可求得k的值，将点B(b,−2)代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，证明△ACD≌△CBE(AAS)，进而求解即可．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
21.【答案】解：(1)四边形CFED是菱形，
理由：∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，
∴CD=EF，
∵CD/​/EF，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴∠EFC=∠CDE=140°，
∴∠CFG=360°−∠EFG−∠EFC=130°，
∴∠FCG=180°−∠CFG−∠CGF=25°=∠CGF，
∴CF=FG=EF=100cm，
∴四边形CFED是菱形．
(2)作FM⊥CG于点M，

在Rt△FGM中，cs∠FGM=GMFG，
∴cs25°=GM100，得GM≈91cm，
∴CG=2GM=2×91=182cm．
【解析】(1)先证明四边形CFED是平行四边形，再证明∠FCG=∠FGC=25°，从而得CF=FG=EF，即可得出结论；
(2)作FM⊥CG于点M，解Rt△FGM，即可求解．
本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．
22.【答案】(0,6) (0,12) (0,n2+n)
【解析】解：(1)若A(1,1)，则抛物线C1的解析式为y=(x−1)2+1，
令x=0，则有y=(0−1)2+1=2，
∴D1的坐标为(0,2)．
(2)①当n=2时，抛物线的解析式为：
y=(x−2)2+2，
令x=0，则有y=(0−2)2+2=6，
∴D2的坐标为(0,6)．
故答案为：(0,6)；
②当n=3时，抛物线的解析式为：
y=(x−3)2+3，
令x=0，则有y=(0−3)2+3=12，
∴D3的坐标为(0,12)．
故答案为：(0,12)；
③当An(n,n)，抛物线的解析式为：
y=(x−n)2+n，
令x=0，则有y=(0−n)2+n=n(n+1)=n2+n，
∴Dn的坐标为(0,n2+n)；
故答案为：(0,n2+n)；
(3)∵Dn[0,n(n+1)]，
∴ODn=n(n+1)
∵A2016(2016,2016)，OB=A2016B=2016，
∴B(0,2016)，
∵△A2016DnB是等腰直角三角形，
∴A2016B=BDn，
①Dn点在B点上方时，BDn=n(n+1)−2016，
∴n(n+1)−2016=2016，
n1=63，n2=−64(舍去)；
②Dn点在B点下方时，BDn=2016−n(n+1)，
∴2016−n(n+1)=2016，
此时n=0或−1，都不合题意，
∴n=63．
(1)根据顶点式求出二次函数解析式，然后求出抛物线与y轴的交点坐标即可；
(2)先根据抛物线的顶点式，求出抛物线的解析式，然后再求出抛物线与y轴的交点坐标即可；
(3)先求出B(0,2016)，根据△A2016DnB是等腰直角三角形，得出A2016B=BDn，分两种情况讨论：Dn点在B点上方时，Dn点在B点下方时，分别求出n的值即可．
本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，解题的关键是求出二次函数解析式．
23.【答案】12 9
【解析】解：(1)①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD=12AB′=12BC，
故答案为：12；
②∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′(SAS)，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD=12B′C′=12BC=9，
故答案为：9；
(2)结论：AD=12BC.理由如下：
如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′=B′M=AC，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，
∴∠BAC=∠MB′A，
∵AB=AB′，
∴△BAC≌△AB′M(SAS)，
∴BC=AM，
∴AD=12BC；
(3)在四边形内部存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”；理由如下：
如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．
连接DF交PC于O．
∵∠ADC=150°，
∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，CD=2 3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，
∴CM=2，DM=4，∠M=60°，
在Rt△BEM中，∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，
∴EM=12BM=7，
∴BM=7 3，
∴DE=EM−DM=3，
在Rt△AEB中，AE= AB2−BE2= (2 39)2−(7 3)2=3，
∴AE=DE，
∵BE⊥AD，
∴PA=PD，PB=PC，
在Rt△CDF中，CD=2 3，CF=6，
∴tan∠CDF= 3，
∴∠CDF=60°，
∴∠ADF=90°=∠AEB，
∴∠CBE=∠CFD，
∵∠CBE=∠PCF，
∴∠CFD=∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，
∴∠CPF=∠CDF=60°=∠CDF，
∵FC=FC，
∴△FCP≌△CFD(AAS)，
∴CD=PF，
∵CD//PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠ADC−∠CDP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP=60°，
∵∠BPF=∠CPF=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APD+∠BPC=180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
∵AB=2 39．
∴△PAB的“旋补中线”长=12AB= 39．
(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
(2)结论：AD=12BC.如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
(3)存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN.连接DF交PC于O.想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类别
年龄段
人数
占总人数百分比
少年人(A)
7−17
5
青年人(B)
18−40
10
20%
中年人(C)
41−60
m
老年人(D)
61−
20